Limite d'une fonction, définition, asymptote

limite d'une fonction en l'infini

Limite finie d'une fonction en +∞:
f a pour limite finie ℓ en +∞

lorsque tout intervalle ouvert contenant ℓ,
contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.

On écrit alors:
lim x → +∞
f(x)=ℓ .

Dans ce cas, on dit que:

la droite d'équation y=ℓ est
asymptote horizontale à la courbe de f
Limite infinie d'une fonction en +∞:
f a pour limite +∞ en +∞

lorsque tout intervalle de la forme ]A;+∞[
contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.

On écrit alors:
lim x → +∞
f(x)=+∞
Une fonction peut n'avoir

ni limite finie ni infinie en +∞.

comme par exemple la fonction sinus.
Pour savoir s'il y a une asymptote horizontale

il faut chercher la limite en +∞ ou -∞.

Si la fonction admet une limite finie ℓ en l'infini,
et dans ce cas seulement, on en déduit
qu'il y a une asymptote horizontale d'équation $y=\ell$.

Pour lancer l'animation, cliquer ici

limite d'une fonction en a

♦ Pour le savoir, regarde le cours en vidéo

f a pour limite +∞ en a:

lorsque tout intervalle de la forme ]A;+∞[ contient toutes les valeurs de f(x)
pour x assez proche de a.

On écrit alors:
lim x → a
f(x)=+∞.

Dans ce cas, on dit que:

la droite d'équation x=a est
asymptote verticale à la courbe de f.
Limite à gauche - Limite à droite:
f a pour limite +∞ en a à droite lorsque:

tout intervalle de la forme ]A;+∞[ contient toutes les valeurs de f(x)
pour x assez proche de a par valeur supérieure.

On écrit alors: \[\lim_{\substack{x \to a\\ x>a}}f(x)=+\infty\] ou $\displaystyle\lim_{x \to a^{+}}f(x)=+\infty$.

Dans ce cas, on dit que:

la droite d'équation x=a est
asymptote verticale à la courbe de f.

f a pour limite +∞ en a à gauche lorsque:

tout intervalle de la forme ]A;+∞[ contient toutes les valeurs de f(x)
pour x assez proche de a par valeur inférieure.

On écrit alors: \[\lim_{\substack{x \to a\\ x<a}}f(x)=+\infty\] ou $\displaystyle\lim_{x \to a^{-}}f(x)=+\infty$.

Dans ce cas, on dit que:

la droite d'équation x=a est
asymptote verticale à la courbe de f.
Pour savoir s'il y a une asymptote verticale

il faut chercher la limite en a, valeur interdite.

Si la fonction admet une limite infinie en a,
et dans ce cas seulement, on en déduit
qu'il y a une asymptote verticale d'équation
x=a.
Pour lancer l'animation, cliquer ici

Comment trouver une
limite graphiquement

♦ Pour le savoir, regarde le cours en vidéo

Tracer des fonctions en ligne et lire la limite, clique ici !

limite des fonctions usuelles

♦ Pour les connaitre, regarde le cours en vidéo

lim x → +∞ x = \[\lim_{x \to +\infty}x=+\infty\]	lim x → -∞ x = \[\lim_{x \to -\infty}x=-\infty\]
lim x → +∞ 1 / x = \[\lim_{x \to +\infty}\frac 1x=0\]	lim x → -∞ 1 / x = \[\lim_{x \to -\infty}\frac 1x=0\]	lim x → 0 x>0 1 / x = \[\lim_{\substack{x \to 0 \\ x\gt 0}}\frac 1x=+\infty\]	lim x → 0 x<0 1 / x = \[\lim_{\substack{x \to 0 \\ x\lt 0}}\frac 1x=-\infty\]

Exercice 1: Conjecturer la limite d'une fonction en +∞ et -∞ - asymptote verticale et horizontale

Exercice 2:

Conjecturer la limite d'une fonction - Déterminer la limite graphiquement

Corrigé en vidéo!

Exercice 3: Déterminer la limite d'une fonction graphiquement en un nombre, en +∞, en -∞ et les asymptotes

On a tracé ci-dessous la courbe d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\backslash\{-2;1\}$.

Déterminer graphiquement les limites de $f$ en $+\infty$, en $-\infty$, en -2 et en 1 à droite et à gauche.
Indiquer les asymptotes éventuelles.

Exercice 4: Tracer l'allure de la courbe d'une fonction connaissant les limites

Dans chacun des cas suivants, tracer une courbe possible de la fonction $f$:
a) \[ \left\{\begin{array}{l} \bullet ~ f \text{ est définie sur }\mathbb{R}\\ \bullet \displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x)=1 \\ \bullet \displaystyle\lim_{x \to -\infty}f(x)=+\infty \\ \end{array}\right.\] b) \[ \left\{\begin{array}{l} \bullet ~ f \text{ est définie sur }\mathbb{R}\backslash\{2\}\\ \bullet \displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x)=-\infty \\ \bullet \displaystyle\lim_{x \to -\infty}f(x)=+\infty \\ \bullet \displaystyle\lim_{x \to 2}f(x)=-\infty \\ \end{array}\right.\] c) \[ \left\{\begin{array}{l} \bullet ~ f \text{ est définie sur }\mathbb{R}\backslash\{-1\}\\ \bullet \displaystyle\lim_{x \to -\infty}f(x)=+\infty \\ \bullet \displaystyle\lim_{\substack{x \to -1\\ x<-1}}f(x)=+\infty \\ \bullet \displaystyle\lim_{\substack{x \to -1\\ x>-1}}f(x)=-\infty \\ \bullet \text{ La droite d'équation } y=2 \text{ est}\\ \text{asymptote à la courbe de } f \text{ en } +\infty \end{array}\right.\]

Exercice 5: Lire les limites d'une fonction et asymptotes à partir du tableau de variations

On donne le tableau de variations d'une fonction $f$:

1) Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$, en $-\infty$, en -3 à droite et à gauche.
2) Déterminer une équation des éventuelles asymptotes.
3) Tracer une allure possible de la courbe de $f$.

Exercice 6: Conjecturer une limite d'une fonction à l'aide de la calculatrice

Dans chaque cas, conjecturer la limite et les asymptotes éventuelles à l'aide de la calculatrice:
a) \[\lim_{\substack{x \to -\infty}}x^3-2x^2+1\] b) \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}\frac{x^2-1}{x+2}\] c) \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}\frac{x+3}{x^2+1}\] d) \[\lim_{\substack{x \to 1\\ x<1}}\frac{1}{1-x}\] e) \[\lim_{\substack{x \to 1\\ x>1}}\frac{1}{1-x}\]

Exercice 7: Déterminer les asymptotes à partir des limites

Que peut-on déduire des limites suivantes concernant les asymptotes horizontales ou verticales?
a) \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}f(x)=-3\] b) \[\lim_{\substack{x \to -3\\ x>-3}}f(x)=-\infty\] c) \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}g(x)=-\infty\] d) \[\lim_{\substack{x \to -\infty}}g(x)=0\]

Exercice 8: Déterminer les limites d'une fonction à partir des asymptotes

Que peut-on déduire des asymptotes suivantes concernant les limites?
a) La droite d'équation $x=1$ est asymptote à la courbe de $f$.
b) La droite d'équation $y=-2$ est asymptote à la courbe de $f$ en $+\infty$.

Limite d'une fonction - asymptote

limite d'une fonction en l'infini

limite d'une fonction en a

limite graphiquement

limite des fonctions usuelles

Conjecturer la limite d'une fonction - Déterminer la limite graphiquement