Le but de cet exercice est de fournir une nouvelle preuve de l'irrationnalité de $\sqrt{2}$.
On raisonne par l'absurde et on suppose que $\sqrt{2}$ est rationnel, c'est à dire qu'il existe deux entiers $a$ et $b$ tels que $\sqrt{2} = \dfrac{a}{b}$.
-
Justifier que $a^2 = 2 b^2$.
-
Dans la décomposition en facteurs premiers de $2b^2$, quelle est la parité de l'exposant de $2$?
-
En déduire une contradiction et conclure.