nombres premiers

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Exercices 1:

Nombres premiers : reconnaître un nombre premier - Arithmétique - Spé Maths

Soit

$n$ un entier naturel avec

$n \geqslant 2$ .
1) Montrer que si

$n$ n'est pas premier alors il possède un diviseur

$d$ qui vérifie :

$1 < d \leqslant \sqrt{n}$ .
2) Déterminer "à la main" si

$409$ est un nombre premier.

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Exercices 2:

Nombres premiers : nombre de diviseurs d'un entier - Arithmétique - Spé Maths

On considère l'entier

$n=19~992$ .

Décomposer $n$ en facteurs premiers.
Soit $d$ un diviseur (positif) de $n$ , justifier que la décomposition de $d$ en produit de facteurs premiers ne comporte pas d'autre nombre premier que ceux présents dans la décomposition de $n$ .
Déterminer le nombre de diviseurs positifs de $n$ .

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Exercices 3:

infinitude des nombres premiers - Arithmétique - Spé Maths Expert

L'objectif de cet exercice est de montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers en raisonnant par l'absurde.
On suppose donc qu'il existe un nombre fini

$n$ de nombres premiers qu'on note :

$p_1,\, p_2,\, p_3,\, \dots \, p_n$ .
On pose

$N = p_1 \times p_2 \times p_3 \times \cdots \times p_n + 1$ .
1) Montrer que pour tout entier

$i$ (avec

$1 \leqslant i \leqslant n$ ), l'entier

$N$ n'est pas divisible par

$p_i$ .
2) Conclure.

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Exercices 4:

Nombres premiers : PGCD et PPCM - Arithmétique - Spé Maths

On pose

$a = 588$ et

$b = 616$ .

Décomposer $a$ et $b$ en produits de facteurs premiers.
En déduire PGCD $(a~;~b)$ .
Déduire également de la première question PPCM $(a~;~b)$
(c'est à dire le plus petit multiple commun à $a$ et à $b$ ).

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Exercices 5:

Nombres premiers et factorielle : les zéros de $100 !$ - Arithmétique - Spé Maths

$10~! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times 10 = 3~628~800$ L'écriture décimale de

$10~!$ (se lit : "factorielle

$10$ ") se termine donc par deux zéros.
Par combien de zéros se termine l'écriture décimale de

$100~!$ ?

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Exercices 6:

Nombres premiers : un multiple ... carré ! - Arithmétique - Spé Maths

Décomposer $7~425$ en produit de facteurs premiers.
En déduire que $7~425$ n'est pas un carré parfait (c'est à dire qu'il n'est pas égal au carré d'un entier naturel). Justifier.
Trouver le plus petit carré parfait multiple de $7~425$ .

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Exercices 7:

Nombres premiers : exploiter la décomposition en facteurs premiers - Arithmétique - Spé Maths

Déterminer tous les couples d'entiers naturels

$(n~;~m)$ tels que :

$3 \times 6^n = 2 \times 18^m$

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Exercices 8:

Racine de 2 irrationnel - Démonstration de cours - mathématiques racine carré - Arithmétique - Spé Maths

L'objectif de cet exercice est de démontrer que racine de 2 est irrationnel.
On rappelle que si

$a^2$ est pair alors

$a$ est pair.
Supposons que

$\sqrt 2$ est rationnel, c'est à dire qu'il existe

$p$ et

$q$ entiers tels que:

$\displaystyle\sqrt 2=\frac pq$ avec

$\displaystyle\frac pq$ irréductible.
1) Démontrer qu'alors

$p$ est pair.
2) En déduire que

$q$ est pair.
3) Conclure.

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Exercices 9:

Raisonnement par récurrence et Arithmétique - Spé Maths

Le but de cet exercice est de fournir une nouvelle preuve de l'irrationnalité de

$\sqrt{2}$ .
On raisonne par l'absurde et on suppose que

$\sqrt{2}$ est rationnel, c'est à dire qu'il existe deux entiers

$a$ et

$b$ tels que

$\sqrt{2} = \dfrac{a}{b}$ .

Justifier que $a^2 = 2 b^2$ .
Dans la décomposition en facteurs premiers de $2b^2$ , quelle est la parité de l'exposant de $2$ ?
En déduire une contradiction et conclure.

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Exercices 10:

Nombres parfaits - Arithmétique - Spé Maths

On appelle nombre parfait un entier dont la somme de ses diviseurs stricts est égale à lui-même.

Euclide donne la règle suivante pour trouver des nombres parfaits :
" Si un nombre $a$ s'écrit sous la forme $2^n(2^{n+1} - 1)$ avec $n$ un entier et si $2^{n+1} - 1$ est premier, alors $a$ est parfait ".
Trouver trois nombres parfaits.
On pose a = 2^n(2^{n+1} - 1) avec n un entier naturel et supposons 2^{n+1} - 1 premier.
1. Quelle est la décomposition de $a$ en facteurs premiers ?
2. En déduire la liste des diviseurs de $a$ .
3. Démontrer alors que la somme des diviseurs stricts de $a$ est égale à $a$ .

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Exercices 11:

Nombres premiers : un problème ouvert - Arithmétique - Spécialité Maths

Trouver tous les nombres premiers

$p$ tels que le nombre

$2^p + p^2$ soit lui-même un nombre premier.

Nombres premiers

Nombres premiers : reconnaître un nombre premier - Arithmétique - Spé Maths

Nombres premiers : nombre de diviseurs d'un entier - Arithmétique - Spé Maths

infinitude des nombres premiers - Arithmétique - Spé Maths Expert

Nombres premiers : PGCD et PPCM - Arithmétique - Spé Maths

Nombres premiers et factorielle : les zéros de 100 !100 ! - Arithmétique - Spé Maths

Nombres premiers : un multiple ... carré ! - Arithmétique - Spé Maths

Nombres premiers : exploiter la décomposition en facteurs premiers - Arithmétique - Spé Maths

Racine de 2 irrationnel - Démonstration de cours - mathématiques racine carré - Arithmétique - Spé Maths

Raisonnement par récurrence et Arithmétique - Spé Maths

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