Exercices 1:
Pair - Impair - Arithmétique - Spé Maths
Que peut-on dire du carré d'un nombre impair ? Démontrer le.
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Exercices 2:
Exercice classique sur la divisibilité - Arithmétique - Spé
Maths
- Démontrer que la somme de trois entiers consécutifs est divisible par $3$.
- Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $2^n+2^{n+1}$ est divisible par $3$.
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Exercices 3:
Démontrer les propriétés de la divisibilité - Arithmétique -
Spé Maths
$a$, $b$, $c$ sont trois entiers relatifs non nuls. Démontrer les propriétés suivantes:
1) Si $a$ divise $b$ et $b$ divise $c$ alors $a$ divise $c$.
2) Si $a$ divise $b$ et $b$ divise $a$ alors $a$ et $b$ sont égaux ou opposés.
3) Si $c$ divise $a$ et $b$ alors pour tous entiers relatifs $u$ et $v$, $c$ divise $au+bv$.
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Exercices 4:
$n^2$ pair alors $n$ pair - contraposée - Arithmétique - Spé
Maths
Soit $n$ un entier naturel. Démontrer que si $n^2$ est pair alors $n$ est pair.
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Exercices 5:
Exercice très classique sur la divisibilité - Arithmétique -
Spé Maths
1) Démontrer que le produit de deux entiers consécutifs est pair.
2) Démontrer que lorsque $n$ est un entier impair, 8 divise $n^2-1$.
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Exercices 6:
Exercice très classique sur la divisibilité - Arithmétique -
Spé Maths
Montrer que si l'on soustrait à un entier naturel strictement inférieur à $100$, la somme de ses
chiffres,
alors le résultat est toujours divisible par $9$.
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Exercices 7:
divisibilité et combinaisons linéaires - Arithmétique - Spé
Maths
Pour quelles valeurs de l'entier naturel $n$ a-t-on $n+8$ divisible par $n$?
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Exercices 8:
divisibilité et combinaisons linéaires - Arithmétique - Spé
Maths
Déterminer les valeurs de l'entier naturel $n$ pour lesquelles $n-7$ divise $n^2-n-24$.
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Exercices 9:
Raisonnement par récurrence et Arithmétique - Spé Maths
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(7^n-1\) est divisible par
6.
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Exercices 10:
Démontrer qu'une fraction est irréductible - Arithmétique -
Spé Maths
1) Donner la liste des diviseurs de $20$ dans $\mathbb{N}$.
2) En déduire tous les couples $(x~;~y)$ d'entiers naturels solutions de l'équation :
$4x^2 - y^2 = 20$
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Exercices 11:
Divisibilité de $a+b$ - Les différents cas possibles -
Arithmétique - Spécialité Maths
$a$, $b$ sont des entiers relatifs. $c$ est un entier relatif non nul.
Rappel: Si $c$ divise $a$ et $b$ alors $c$ divise $\left\{
\begin{array}{c}
a+b\\
\mbox{et}\\
a-b
\end{array}
\right.$
Que peut-on dire des affirmations suivantes. Justifier par un raisonnement:
1) Si $c$ divise $a$ mais pas $b$, alors $c$ ne divise pas $a+b$
2) Si $c$ ne divise ni $a$, ni $b$ alors $c$ ne divise pas $a+b$.
3) $3$ ne divise pas $3n+1$ où $n$ est un entier naturel.
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Exercices 12:
Démontrer qu'une fraction est irréductible - Arithmétique -
Spé Maths
1) Montrer que si un entier naturel $d$ divise $12n+7$ et $3n+1$ alors il divise $3$.
2) En déduire que la fraction $\dfrac{12n + 7}{3n + 1}$ est irréductible.
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Exercices 13:
Démontrer qu'une fraction est irréductible - Arithmétique -
Spé Maths
Déterminer toutes les valeurs de l'entier relatif $n$ telles que $\displaystyle\frac{10n-4}{3n+1}$
soit un entier relatif.
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Exercices 14:
Démontrer que ... ne divise pas .... -
Arithmétique - Spé Maths
Le nombre $n$ désigne un entier naturel.
1. Démontrer que $n + 1$ divise $n^2 + 5n + 4$ et $n^2 + 3n + 2$.
2. Déterminer l'ensemble des valeurs de $n$ pour lesquelles $3n^2 + 15n + 19$ est divisible par $n +
1$.
3. En déduire que, quel que soit $n$, $3n^2 + 15n + 19$ n'est pas divisible par $n^2 + 3n + 2$.
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Exercices 15: Démontrer par
récurrence que ... est divisible
- multiple - Les erreurs à éviter
Pour tout entier naturel \(n\), on considère les deux propriétés suivantes:
\(P_n: 10^n-1\) est divisible par 9
\(Q_n: 10^n+1\) est divisible par 9
- Démontrer que si \(P_n\) est vraie alors \(P_{n+1}\) est vraie.
- Démontrer que si \(Q_n\) est vraie alors \(Q_{n+1}\) est vraie.
-
Un élève affirme: " Donc \(P_n\) et \(Q_n\) sont vraies pour tout entier naturel
\(n\)".
Expliquer pourquoi il commet une erreur grave.
- Démontrer que \(P_n\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).
- Démontrer que pour tout entier naturel $n$, \(Q_n\) est fausse. On pourra utiliser un
raisonnement par l'absurde.
Exercices 16: Démontrer par
récurrence que ... est divisible -
multiple
Soit \(P(n)\) la propriété définie sur \(\mathbb{N}\) par:
\(4^n+1\) est divisible par 3.
1) Démontrer que si \(P(n)\) est vraie alors \(P(n+1)\) est vraie.
2) Que peut-on conclure?
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Exercices 17:
Raisonnement par récurrence et divisibilité
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(3^{2n}-1\) est un multiple de
8.
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Exercices 18:
Raisonnement par récurrence et divisibilité
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(4^{n}+15n-1\) est divisible par
9.
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Exercices 19: Divisibilité : une
équation de Pell-Fermat
On considère l'équation $(E)$ : $a^2 - 2b^2 = 1$ et $(a~;~b)$ un couple d'entiers solution de cette
équation.
-
-
Montrer que $a$ est impair.
-
Montrer que $b$ est pair.
-
Montrer que $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
-
Montrer que le couple $(3a+4b~;~2a+3b)$ est aussi un couple solution de l'équation $(E)$.
- A l'aide d'une solution évidente, trouver un couple solution avec des entiers supérieurs à
$100$.
-
Ecrire un algorithme en langage naturel permettant de trouver un couple solution avec des
entiers supérieurs à un seuil fixé à l'avance.
Exercices 20:
Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé
Maths
Soit $n$ un entier, montrer que les entiers $3n+2$ et $9n +5$ n'ont pas de diviseurs communs hormis
$1$ (et $-1$).
Exercices 21:
Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé
Maths
Les affirmations suivantes sont-elles ou vraies ou fausse ? Justifier
1) $42$ a plus de diviseurs que $40$.
2) Le produit d'un nombre pair par un nombre impair est pair.
3) Un entier naturel différent de $0$ et de $1$ a toujours un nombre pair de diviseurs
positifs.
4) Soit $a$, $b$ et $c$ trois entiers tels que $a \mid c$ et $b \mid c$ alors $ab \mid
c$.
5) $3$ divise $n(n^2-1)$ où $n$ est un entier relatif.
Exercices 22:
Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé
Maths
On décide de former des nombres dans le système
décimal en écrivant de gauche à droite quatre chiffres
consécutifs dans l'ordre croissant puis en permutant
les deux premiers chiffres de gauche.
Par exemple, à partir de 4567 on obtient 5467, à
partir de 2345 on obtient 3245.
Démontrer que tous les entiers naturels ainsi
obtenus sont multiples de $11$.
Exercices 23:
Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé
Maths
Deux nombres entiers $n$ et $m$ sont dits amicaux si la somme des diviseurs de $n$
($n$ non compris) vaut $m$ et la somme des diviseurs de $m$ ($m$ non compris) vaut $n$.
Montrer que $220$ et $284$ sont amicaux.
Exercices 24:
Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé
Maths
On considère un entier de $3$ chiffres. On appelle renversé de cet entier le nombre
qui s'écrit en échangeant les chiffres des centaines et des unités.
Par exemple, le renversé de $158$ est $851$.
Montrer que la différence entre un entier de $3$ chiffres et son renversé est divisible par $99$.
Exercices 25:
Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé
Maths
1) Vérifier que 2016 2016 est divisible par $73$ et $137$.
2) Essayer avec d'autres entiers obtenus en juxtaposant deux entiers à $4$ chiffres et démontrer
qu'il en sera toujours ainsi.
Exercices 26:
Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé
Maths
On considère l'écriture en base $10$ d'un entier $n=\overline{cdu}$ .
1) Montrer que si $2d+u$ est un multiple de $4$ alors $n$ est un multiple de $4$.
2) Montrer que la réciproque est également vraie.
Exercices 27:
Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé
Maths
Trouver tous les couples d'entiers naturels $(x~;~y)$ qui vérifient :
a) $x(y + 1) = 14$ b) $(x + 2y)(2x - 3y) = 15$ c) $x^2 - y^2 = 20$ d) $2x^2
= 4y + 1$
Exercices 28:
Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé
Maths
Montrer que l'équation $4x^2 = 33 + y^2$ n'admet aucun couple d'entiers $(x~;~y)$ comme solution.
Exercices 29:
Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé
Maths
On souhaite résoudre dans $\mathbb{N}$ l'équation $(E) : n^3 + 4n = 240$.
1) Montrer qu'une solution $n$ de $(E)$ ne peut pas être un entier impair.
2) Résoudre l'équation $(E)$.
Exercices 30:
Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé
Maths
On considère l'équation (E) : $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{5} $ où $x$ et $y$
sont des entiers relatifs non nuls.
1) Montrer que (E) est équivalente à
$(x - 5)(y - 5) = 25$ avec $x$ et $y$ non nuls.
2) En déduire les solutions de (E).
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Exercices 31:
Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé
Maths
Le plan est muni d'un repère $(\mathrm{O}~;~ \vec{i}~;~\vec{j})$.
Soit $\Delta$ la droite d'équation $y = \dfrac{5}{4} x - \dfrac{2}{3}$.
1) Montrer que si $(x,\:y)$ est un couple d'entiers relatifs alors l'entier $15x - 12y$ est
divisible par $3$.
2) Existe-il au moins un point de la droite $\Delta$ dont les coordonnées sont deux entiers relatifs
? Justifier.
Exercices 32:
Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé
Maths
Soit $n \in \mathbb{Z}$. Pour quelles valeurs de $n$, $\dfrac{2n-29}{n +2}$ est-il un entier
relatif?
Exercices 33:
Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé
Maths
Soit $n$ un entier naturel.
1) Vérifier que $2n^2 - n - 6 = (n + 3)(2n - 7) + 15$.
2) En déduire les valeurs de $n$ pour lesquelles la fraction $\dfrac{2n^2 - n - 6}{n + 3}$ est un
entier relatif.
Exercices 34:
Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé
Maths
Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, la fraction $\dfrac{9n - 8}{3n+1}$ n'est jamais un
entier.
Exercices 35:
Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé
Maths
Soit $n$ est un entier naturel.
1) Démontrer que quel que soit $n$, $n +2$ divise $n^2 +3n +2$.
2) En déduire les valeurs de $n$ pour lesquelles $n +2$ divise $4n^2 +12n +20$.
Exercices 36:
Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé
Maths
Déterminer les valeurs de l'entier naturel $n$ pour lesquelles $2n-3$ divise $3n+5$.
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