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Terminale S

Correction exercice démonstration par récurrence

Correction : Calculer la somme des cubes
On commence par écrire la propriété que l'on veut démontrer:
Soit \[P(n) : 1+...+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\]
Initialisation:
Vérifions que $P(1)$ est vraie
Pour celà, on remplace $n$ par 1 dans $P(n)$


\[\frac{1^2(1+1)^2}{4}=\frac 4 4=1\]. Donc $P(1)$ est vraie.
Hérédité:
Soit un entier $n\ge 1$. Supposons $P(n)$ vraie et montrons que ça entraine que $P(n+1)$ est vraie.
Au brouillon, on écrit $P(n+1)$, car c'est ce que l'on doit montrer:
\[P(n+1) : 1+...+n^3+(n+1)^3=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}\]
Pour trouver $P(n+1)$, on remplace $n$ par $n+1$ dans $P(n)$.



D'après l'hypothèse de récurrence, \[ 1+...+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\]
Car on a supposé $P(n)$ vraie.


On déduit \[ 1+...+n^3+(n+1)^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3\]
On rajoute $(n+1)^3$ des 2 côtés pour faire apparaitre $P(n+1)$.


On déduit \[ 1+...+n^3+(n+1)^3=(n+1)^2\left(\frac{n^2}{4}+n+1\right).\]
On met en facteur $(n+1)^2$.


On déduit \[ 1+...+n^3+(n+1)^3=(n+1)^2(\frac{n^2+4n+4}{4})\]
On déduit \[ 1+...+n^3+(n+1)^3=(n+1)^2\frac{(n+2)^2}{4}\]
Car $n^2+4n+4=(n+2)^2$.


Donc $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion:
La propriété $P(n)$ est vraie au rang 1 et est héréditaire à partir du rang 1,
Donc par récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\ge 1$.




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