Loi exponentielle de paramètre $\lambda$

Définition

♦ Cours en vidéo: comprendre la définition de la loi exponentielle et savoir l'utiliser

Dire que X suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$
signifie que sa densité est la fonction $f$

définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$.

$\lambda$ est toujours un nombre strictement positif.
Une primitive de $f$ est

F définie sur $[0;+\infty[$ par $F(x)=-e^{-\lambda x}$.
$f$ est bien une densité car

- $f$ est continue sur $[0;+\infty[$.
- $f$ est positive sur $[0;+\infty[$.
- L'aire sous la courbe sur $[0;+\infty[$ vaut 1.

$\lim\limits_{x \to +\infty}\int_0^x f(t)~{\rm d}t =1$

Propriétés

♦ Cours en vidéo: Propriétés de la loi exponentielle et savoir les utiliser

Pour lire $\lambda$ graphiquement
${\rm P}(a\le {\rm X}\le b)=$

\[{\rm P}(a\le {\rm X}\le b)=e^{-\lambda a}-e^{-\lambda b}\]

car \[{\rm P}(a\le {\rm X}\le b)=\int_a^b \lambda e^{-\lambda t}~{\rm d}t=[-e^{-\lambda t}]_a^b=e^{-\lambda a}-e^{-\lambda b}\]
${\rm P}({\rm X}\le a)=$

\[{\rm P}({\rm X}\le a)=1-e^{-\lambda a}\]

car \[{\rm P}({\rm X}\le a)={\rm P}(0\le {\rm X}\le a)=e^{-\lambda 0}-e^{-\lambda a}=1-e^{-\lambda a}\]
${\rm P}({\rm X}\gt a)=$

\[{\rm P}({\rm X}\gt a)=e^{-\lambda a}\]

car \[{\rm P}({\rm X}\gt a)=1-{\rm P(X}\le a)=1-(1-e^{-\lambda a})=e^{-\lambda a}\]

Loi sans vieillissement ou sans mémoire

♦ Cours en vidéo: comprendre la notion de loi sans vieillissement et savoir l'utiliser

Dire qu'une variable aléatoire X est sans vieillissement ou sans mémoire
signifie

\[{\rm P}_{{\rm X}\ge t}({\rm X}\ge t+h)={\rm P}({\rm X}\ge h)\].

avec $t$ et $h$ positifs

Si T désigne la durée de vie d'un appareil en heure, cette propriété signifie que:
La probabilité que l'appareil fonctionne encore h heures sachant qu'il a déjà marché t heures,
est égale à la probabilité que l'appareil fonctionne h heures.
Autrement dit les t heures pendant lesquelles il a fonctionné, n'influent pas sur sa durée de vie.
C'est pour cela qu'on appelle cette propriété: Loi sans vieillissement.

La plupart des composants électroniques, ampoules, atomes suivent des lois sans vieillissement.
C'est à dire que leur durée de vie, ne dépend pas du temps pendant lequel ils ont déjà fonctionné ou vécu.
La loi exponentielle est une loi

sans vieillissement.
Si dans un exercice, X suit une loi exponentielle alors on peut utiliser la propriété suivante:
\[{\rm P}_{{\rm X}\ge t}({\rm X}\ge t+h)={\rm P}({\rm X}\ge h)\]

avec $t$ et $h$ positifs.

Si on veut calculer: ${\rm P}_{{\rm X}\ge 5}({\rm X}\ge 12)$:
${\rm P}_{{\rm X}\ge 5}({\rm X}\ge 12)={\rm P}_{{\rm X}\ge 5}({\rm X}\ge 5+7)=p({\rm X}\ge 7)$

Espérance de la loi exponentielle

♦ Cours en vidéo: Savoir calculer l'espérance d'une loi exponentielle

Si X suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ alors son espérance E(X)=

$E(X)=\frac 1{\lambda}$

\[E(X)=\lim\limits_{x \to +\infty}\int_0^x t\cdot \lambda e^{-\lambda t}~{\rm d}t\]

Ne pas oublier que $\lambda$ est strictement positif.

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Exercices 1:

Comprendre la définition d'une loi exponentielle

Soit $\lambda$ un réel strictement positif.
Démontrer que la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ est une densité de probabilité.

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Exercices 2:

Loi exponentielle - Savoir déterminer le paramètre λ

Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. On sait que ${\rm P}({\rm X}\le 1000)=0,3$.
1) Déterminer la valeur exacte de $\lambda$ puis en donner une valeur approchée à $10^{-5}$ près.
2) Dans cette question, on admet que $\lambda=0,00036$. Déterminer une valeur approchée de ${\rm P}({\rm X}\ge 500)$ à $10^{-5}$ près.

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Exercices 3:

La durée de vie T en année, d'un appareil avant la première panne suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
D'après une étude, la probabilité que cet appareil tombe en panne pour la première fois avant la fin
de la première année est $0,2$. D'après cette étude, déterminer la valeur de $\lambda$ à $10^{-2}$ près.

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Exercices 4:

La durée de vie T en année, d'un appareil avant la première panne suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
D'après une étude, la durée de vie moyenne de cet appareil avant la première panne est de deux ans.
D'après cette étude, déterminer la valeur de $\lambda$ à $10^{-2}$ près.

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Exercices 5:

Loi exponentielle - Savoir lire la valeur du paramètre λ

Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$.
La courbe ci-dessous représente la densité $f$ de cette loi exponentielle.

Déterminer la probabilité $\rm P(X\geqslant 2)$.

Exercices 6:

La durée de vie T en année, d'un appareil avant la première panne suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda=0,3$.
1) Quelle est la probabilité que l'appareil ne connaisse pas de panne au cours des trois premières années.
2) Quelle est la probabilité que l'appareil tombe en panne avant la fin de la deuxième année.
3) L'appareil n'a connu aucune panne les deux premières années.
Quelle est la probabilité qu'il ne connaisse aucune panne l'année suivante?

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Exercices 7:

Loi exponentielle et espérance : Démonstration du cours

Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$.
On considère la fonction $g$ définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)=\lambda xe^{-\lambda x}$.
1) Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la fonction $G$ définie sur $[0;+\infty[$ par $G(x)=(ax+b)e^{-\lambda x}$
soit une primitive de $g$.
2) En déduire que l'espérance de X, notée E(X)=$\frac 1 \lambda$.

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Exercices 8:

Loi exponentielle - Temps d'attente

A un standard téléphonique, on entend « Votre temps d'attente est estimé à 5 minutes».
Ce temps d'attente en minute, noté T, est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle
et l'estimation annoncée correspond à l'espérance de T. Vous avez déjà attendu plus d'une minute.
Quelle est la probabilité d'attendre plus de 10 minutes au total?

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Exercices 9:

Loi exponentielle - Déterminer λ

Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$.
Déterminer $\lambda$ sachant que $\rm P(1\leqslant X\leqslant 2)=\frac 1 4$.

Exercices 10:

Loi exponentielle et probabilité conditionnelle

Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$ telle que $\rm P(X\leqslant 100)=0,09$.
1) Déterminer la probabilité $\rm P_{X\geqslant 800}(X\geqslant 900)$.
2) Déterminer la probabilité $\rm P_{X\leqslant 400}(X\geqslant 500)$.

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Exercices 11:

Loi exponentielle et élément radioactif

La durée de vie X, en année du carbone 14 suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$.
On appelle demi-vie de X le réel $t$ tel que ${\rm P(X\leqslant}t)={\rm P(X\geqslant}t)$.
1) Démontrer ${\rm P(X\leqslant}t)=\frac 12$.
2) Démontrer que $t=\frac{\ln 2}{\lambda}$.
3) On observe que la demi-vie du carbone 14 est de 5568 ans. Déterminer $\rm P(X\leqslant 1000)$ à $10^{-3}$ près.
4) Quelle est la probabilité que la durée du vie du carbone 14 soit supérieure à deux demi-vies?

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Exercices 12:

Loi exponentielle et loi binomiale

On souhaite équiper une salle informatique d'ordinateurs. La durée de vie d'un ordinateur est
indépendante de celle des autres ordinateurs. La durée de vie d'un ordinateur, en année,
est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda=0,18$.
Combien faut-il au minimum mettre d'ordinateurs dans la salle pour que la probabilité de
l'événement « L'un au moins des ordinateurs fonctionne encore après 5 ans » soit supérieure à 0.99?

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Exercices 13:

Loi exponentielle et loi binomiale

La durée de vie, en année, d'une ampoule LED est une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda=0,2$. Dix LED neuves, ont été mises en service en même temps.
Soit X la variable aléatoire qui indique le nombre de LED qui fonctionnent encore après 4 années.
Déterminer à $10^{-3}$ près, $\rm P(X=7)$.

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Exercices 14:

Loi exponentielle et probabilité conditionnelle

On achète dans un sachet des composants tous identiques mais dont certains présentent un défaut.
La probabilité qu'un composant ait un défaut est $0,02$.
La durée de vie $\rm T_1$ en heure d'un composant défectueux suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda_1=5\times 10^{-4}$. La durée de vie $\rm T_2$ en heure d'un composant sans défaut suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda_2=10^{-4}$. Un composant du sachet fonctionne encore 1000 heures après sa mise en service.
Quelle est la probabilité que ce composant soit défectueux?

Exercices 15:

Loi exponentielle et probabilité conditionnelle

La durée de vie T, en heure, d'un appareil est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle.
La probabilité que cet appareil fonctionne encore après 100 heures est de $0,9$.
Calculer à une heure près, la durée $d$ pour laquelle la probabilité qu'il fonctionne encore soit de $0,8$.

Exercices 16:

Loi exponentielle et montage en série

Deux composants identiques A et B sont montés en série sur une machine.
La durée de vie, en jours, de chaque composant est une variable aléatoire
qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda=0.0002$.
La machine tombe en panne dès qu'un des composants cesse de fonctionner.
Les durées de vie de A et B sont indépendantes.
Déterminer la probabilité que la machine fonctionne encore après 100 jours.

Exercices 17:

Loi exponentielle et montage en parallèle

Deux composants identiques A et B sont montés en parallèles sur une machine.
La durée de vie, en jours, de chaque composant est une variable aléatoire
qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda=0.0002$.
La machine tombe en panne que si les deux composants cessent de fonctionner.
Les durées de vie de A et B sont indépendantes.
Déterminer la probabilité que la machine fonctionne encore après 100 jours.