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Loi binomiale

Loi binomiale - Espérance - Calculatrice
  • Comment travailler efficacement Cours de math en vidéo
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Loi binomiale

: cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • Quand utiliser une loi binomiale
    Avant d'utiliser une loi binomiale,
    il faut vérifier que les conditions suivantes sont bien remplies:
    • On répète la même expérience aléatoire
    • Cette expérience a 2 issues (Succès et Echec)
    • On répète de manière indépendante
    C'est à dire qu'une expérience
    n'influe pas sur la suivante

    • X la variable aléatoire compte le nombre de succès

    Si toutes ces conditions sont remplies
    X suit une loi binomiale.
    Exemple
    Un joueur de Basket lance 10 fois un ballon pour mettre des paniers.
    Pour chaque lancer, la probabilité de marquer est de 0,8.
    Soit X la variable aléatoire égale au nombre de paniers marqués.

    Dans cet exemple, on répète 10 fois la même expérience aléatoire
    de manière indépendante
    Car un lancer n'influe pas le suivant.

    Donc X suit une loi binomiale.

  • Paramètres d'une loi binomiale
    Lorqu'on répète la même expérience à 2 issues de manière indépendante,
    la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès
    suit une loi binomiale de paramètres $\boldsymbol{n}$ et $\boldsymbol{p}$.
    $\boldsymbol{n}$ désigne le nombre de répétitions.
    $\boldsymbol{p}$ la probabilité du succès.
    Pour dire
    X suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$
    on peut écrire
    $\boldsymbol{{\rm X}\sim {\rm B}(n,p)}$

  • $\boldsymbol{{\rm P(X=}k)}$
    Si X suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$,
    pour calculer la probabilité d'avoir $k$ succès,
    on utilise la formule
    $\displaystyle P(X=k)={{n}\choose{k}}p^k(1-p)^{n-k}$
    $P(X=k)$ signifie la probabilité d'avoir k succès.
    Car X compte le nombre de succès.

    $\displaystyle\boldsymbol{{n}\choose{k}}$ désigne le nombre de chemins dans l'arbre amenant à $\boldsymbol{k}$ succès.
    ${n}\choose{k}$ se lit $k$ parmi $n$


    Voici l'arbre de toutes les possibilités
    quand on répète 4 fois une expérience à 2 issues (Succès et Echec).
    Il y a 4 chemins (en rouge) qui amènent à 3 succès.
    Donc $\displaystyle \boldsymbol{{{4}\choose{3}}=4}$

Coefficients binomiaux

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  • Triangle de Pascal
    Pour dresser le triangle de Pascal:
    • Mettre des 1 dans la verticale ($k=0$)
    • Mettre des 1 dans la diagonale
    Remplir les cases
    A chaque fois,
    Une case + la case à coté donne la case du dessous,
    comme indiqué avec les cercles verts et bleus.



  • Coefficients binomiaux
    5 Méthodes pour calculer un coefficient binomial $\displaystyle\boldsymbol{{{n}\choose{k}}}$
    • Faire l'arbre et compter le nombre de chemins avec $k$ succès.
    Pour trouver $\displaystyle\boldsymbol{{{4}\choose{3}}}$
    On dresse un arbre à 4 niveaux avec à chaque fois 2 issues (Succès et Echec)
    Puis on regarde dans l'arbre, combien il y a de chemins avec 3 succès (en rouge).
    Comme il y en a 4, on déduit: $\displaystyle\boldsymbol{{{4}\choose{3}}=4}$

    • Savoir que $\displaystyle\boldsymbol{{{n}\choose{0}}=1}$    $\displaystyle\boldsymbol{{{n}\choose{n}}=1}$    $\displaystyle\boldsymbol{{{n}\choose{1}}=n}$    $\displaystyle\boldsymbol{{{n}\choose{n-1}}=n}$
    Tout est expliqué dans la vidéo
    Cours de math en vidéo

    • Utiliser le triangle de Pascal
    Pour trouver $\displaystyle\boldsymbol{{{5}\choose{2}}}$
    On dresse le triangle de Pascal.
    Puis on se place à l'intersection de la ligne 5 et de la colonne 2.
    On lit la valeur: 10
    Donc $\displaystyle\boldsymbol{{{5}\choose{2}}=10}$

    • Utiliser la calculatrice
    Voir plus loin le paragraphe
    binomiale et calculatrice

    • Utiliser la formule $\displaystyle\boldsymbol{{{n}\choose{k}}=\frac{n!}{k!(n-k)!}}$
    Formule hors-programme en première S

  • Le triangle de Pascal permet de calculer les Coefficients binomiaux Cours de math en vidéo
    Le triangle de Pascal
    repose sur la formule
    $\displaystyle\boldsymbol{{{n}\choose{k}}}+\displaystyle\boldsymbol{{{n}\choose{k+1}}}=\displaystyle\boldsymbol{{{n+1}\choose{k+1}}}$
    où $n$ et $k$ sont des entiers naturels
    et $k\leqslant n-1$

Espérance - Variance - écart-type d'une loi binomiale

: cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • Espérance d'une loi binomiale
    Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$
    alors l'espérance de X, $\boldsymbol{{\rm E(X)}=np}$.

    Exemple:
    On lance 60 fois un dé non truqué à 6 faces, numérotées de 1 à 6.
    Soit la variable aléatoire correspondant au nombre de 6 obtenus sur les 60 lancers.
    X suit une loi binomiale de paramètres 60 et $\displaystyle\frac 16$
    $\displaystyle {\rm E(X)}=60\times \frac 16=10$
    Interprétation :
    Si on répète un grand nombre de fois ces 60 lancers
    et que l'on fait la moyenne du nombre de 6 obtenus sur ces 60 lancers,
    cette moyenne sera proche de 10.

  • Variance et écart-type d'une loi binomiale
    Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres $\boldsymbol{n}$ et $\boldsymbol{p}$
    alors
    la variance de X, $\boldsymbol{{\rm V(X)}=np(1-p)}$
    l'écart-type de X, $\boldsymbol{\sigma({\rm X})={\rm \sqrt{V(X)}}}$.

Calculatrice Casio graph 35 / 90

  • Coefficients binomiaux et calculatrice Casio graph Cours de math en vidéo
    Par exemple
    Pour calculer $\displaystyle{{10}\choose{4}}$:
    Menu 1 + Option + proba + taper 10 + nCr + taper 4
    Vous devez obtenir: 210
  • Loi Binomiale et calculatrice Casio graph Cours de math en vidéo
    titi

Calculatrice TI 82 / 83

  • Coefficients binomiaux et calculatrice TI 82 / 83 Cours de math en vidéo
    Par exemple
    Pour calculer $\displaystyle{{10}\choose{4}}$:
    Taper 10 + Math + proba + Combinaison + taper 4
    Vous devez obtenir: 210
  • Loi Binomiale et calculatrice Casio graph Cours de math en vidéo
    titi


Corrigé en vidéo! Exercices 1: Reconnaitre une loi binomiale et ses paramètres - Première S - ES - STI
Dans chaque cas, préciser si la variable aléatoire $\rm X$ suit une loi binomiale. Dans l'affirmative, préciser ses paramètres:
  1. Un élève répond au hasard à un QCM de cinq questions. Pour chaque question, il y a 4 propositions et une seule est correcte. Soit $\rm X$ la variable aléatoire indiquant le nombre de bonnes réponses de l'élève.
  2. On lance $5$ fois un dé cubique non truqué dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Soit $\rm X$ la variable aléatoire indiquant le nombre de six obtenus.
  3. Une urne contient 10 boules: 5 blanches, 2 vertes et 3 rouges. On tire sans remise $7$ boules de l'urne. Soit $\rm X$ la variable aléatoire indiquant le nombre de boules rouges tirées.
  4. Idem mais le tirage est avec remise.
Corrigé en vidéo! Exercices 2: Calculer un coefficient binomial sans calculatrice - Première S - ES - STI
Déterminer sans calculatrice, les coefficients binomiaux suivants:
    $\displaystyle{{25}\choose{1}}$     $\displaystyle{{35}\choose{34}}$     $\displaystyle{{5}\choose{2}}$     $\displaystyle{{17}\choose{0}}$
Corrigé en vidéo! Exercices 3: Calculer des coefficients binomiaux sans calculatrice
1) Calculer sans calculatrice $\displaystyle{ {10}\choose{9}}$
2) Sachant que $\displaystyle{ {{10}\choose{4}}=210}$ et $\displaystyle{ {{10}\choose{5}}=252}$, déterminer sans calculatrice $\displaystyle{ {10}\choose{6}}$ et $\displaystyle{ {11}\choose{5}}$
Corrigé en vidéo! Exercices 4: Loi binomiale - probabilité et carte
On tire au hasard avec remise quatre cartes dans un jeu de $32$ cartes.
Déterminer sans calculatrice, la probabilité de:
1) Tirer exactement $1$ as.
2) Tirer au moins un as.
Corrigé en vidéo! Exercices 5: Loi binomiale - probabilité et coefficients binomiaux
On lance une pièce de monnaie équilibrée $5$ fois de suite.
Déterminer sans calculatrice, la probabilité d'obtenir exactement $3$ fois pile.
Corrigé en vidéo! Exercices 6: Loi binomiale - Probabilité de "Au moins"
Une urne contient $9$ jetons numérotés de 1 à 9. On tire au hasard avec remise trois jetons dans cette urne.
Déterminer la probabilité de tirer au moins un jeton pair.
Corrigé en vidéo! Exercices 7: Loi binomiale et probabilité de "au moins" - Première S - ES - STI
On lance un dé équilibré à 6 faces, numérotées de 1 à 6.
Combien de fois au minimum faut-il lancer le dé pour que la probabilité d'obtenir au moins un 6 soit supérieure à 0,9?
Exercices 8: Loi binomiale - Première S - ES - STI
Une personne décide d'inviter ses amis à sa fête d’anniversaire. Elle lance les invitations via les réseaux sociaux et reçoit 117 réponses positives. Malheureusement, la salle qu’elle avait prévue ne peut pas accueillir plus de 100 personnes pour des raisons de sécurité. Elle estime qu’une personne ayant répondu favorablement à son invitation a 10 % de chance de se désister. Quelle est la probabilité de devoir changer de salle?
Corrigé en vidéo! Exercices 9: Loi binomiale • Questions classiques • Première S - ES - STI
Un commercial doit rendre visite à 5 clients. Il sait que la probabilité d'obtenir une commande est la même pour tous ses clients et que sa valeur est de 0,2. On admet que la décision de chaque client est indépendante des autres.
Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de clients qui ont passé une commande.
1) Quelle loi suit X ? Préciser les paramètres et justifier.
2) Quelle est la probabilité pour le commercial d'obtenir exactement trois commandes ?
3) Quelle est la probabilité pour le commercial de n'obtenir aucune commande ?
4) Le commercial a-t-il plus d'une chance sur deux d'obtenir au moins deux commandes ?
Corrigé en vidéo! Exercices 10: Loi binomiale - espérance de gain à un jeu - Première S - ES - STI
Le Tapis Vert était un jeu de La Française des Jeux diffusé sur TF1 dans les années 80. Dans un jeu de 32 cartes étaient tirées successivement une carte parmi les piques, puis une parmi les coeurs, une parmi les trèfles et enfin une parmi les carreaux. Le joueur cochait sur son bulletin une carte de chaque famille. Il remportait :
    • 2 fois sa mise, s'il avait coché $2$ cartes gagnantes
    • 30 fois sa mise, s'il avait coché 3 cartes gagnantes
    • 1000 fois sa mise, s'il avait coché 4 cartes gagnantes.
On appelle X le nombre de cartes gagnantes obtenues après un tirage.
1) Quelle loi suit la variable aléatoire X ?
2) Donner $\rm P(X=2)$, $\rm P(X=3)$ et $\rm P(X=4)$ (sous forme de fractions).
3) En déduire la probabilité de perdre au Tapis Vert.
4) Si un joueur misait 10 francs, quelle était son espérance de gain ? (Arrondir au centime près.)
Corrigé en vidéo! Exercices 11: Loi binomiale - Espérance - variance - écart-type
Une variable aléatoire X suit une loi binomiale.
Sachant que son espérance vaut 2,4 et son écart type 1,2, retrouver ses paramètres.
Corrigé en vidéo! Exercices 12: Loi binomiale - Exercice complet de révision
Un élève se rend à vélo au lycée distant de $3$ km de son domicile à une vitesse constante de $15$ km/h. Sur le parcours, il rencontre $6$ feux tricolores non synchronisés. Pour chaque feu, la probabilité qu'il soit au vert est $\displaystyle\frac 23$. Un feu rouge ou orange lui fait perdre une minute et demie. On appelle $\rm X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de feux verts rencontrés par l'élève sur son parcours et $\rm T$ la variable aléatoire donnant le temps en minutes mis par l'élève pour se rendre au lycée.
  1. Déterminer la loi de probabilité de $\rm X$.
  2. Exprimer $\rm T$ en fonction de $\rm X$.
  3. En déduire $\rm E(T)$ et interpréter.
  4. L'élève part $17$ minutes avant le début des cours. Déterminer la probabilité (à $10^{-3}$ près) qu'il arrive en retard.
Corrigé en vidéo! Exercices 13: Loi binomiale - Répondre au hasard à un QCM
Un élève répond complètement au hasard à un QCM composé de trois questions. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées mais une seule à chaque fois est correcte. On note $X$ le nombre de bonnes réponses obtenues.
  1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale. Préciser les paramètres.
  2. Calculer $E(X)$ et interpréter.
  3. Chaque bonne réponse rapporte $1$ point et chaque mauvaise réponse enlève $m$ point (avec $0 \leqslant m \leqslant 1$). On note $Y$ la variable aléatoire donnant le score (éventuellement négatif) obtenu par l'élève.
    1. Montrer que $Y = (1 + m)X - 3m$.
    2. Le professeur souhaite qu'un élève répondant au hasard obtienne en moyenne un score nul. Quelle valeur doit-il fixer pour $m$?
Corrigé en vidéo! Exercices 14: Loi binomiale et espérance de aX+b
Dans le métro, il y a 9% des voyageurs qui fraudent. Chaque jour, à la station Alésia, on contrôle 200 personnes. Soit X la variable aléatoire qui représente le nombre de fraudeurs sur ces 200 personnes. On admet que X suit une loi binomiale.
  1. Déterminer les paramètres de la loi que suit X.
  2. Combien de personnes, en moyenne, vont être signalées en fraude lors de ce contrôle ?
  3. Si le prix du ticket est 1,70€ , quel doit être le prix de l'amende pour, qu'en moyenne, l'établissement régissant le métro ne perde pas d'argent avec les fraudeurs de la station Alésia, sachant qu'il y a 5000 voyageurs chaque jour dans cette station.
Corrigé en vidéo! Exercices 15: Loi binomiale et représentation graphique
On a représenté graphiquement la loi de probabilité d'une variable aléatoire X
suivant la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.


1) Donner la valeur du paramètre $n$.
2) Calculer l'espérance de X.
3) En déduire la valeur du paramètre $p$.






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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES et STI depuis 23 ans
Créateur de jeux de stratégie: Agora et Chifoumi

Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 14 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie