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Terminale S

Limite d'une fonction - asymptote


limite d'une fonction en l'infini

  • Limite finie d'une fonction en +∞: Cours de math en vidéo
    f a pour limite finie ℓ en +∞
    lorsque tout intervalle ouvert contenant ℓ,
    contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.

    On écrit alors:
    lim x → +∞
    f(x)=ℓ .
    Dans ce cas, on dit que:

    la droite d'équation y=ℓ est
    asymptote horizontale à la courbe de f

  • Limite infinie d'une fonction en +∞: Cours de math en vidéo
    f a pour limite +∞ en +∞
    lorsque tout intervalle de la forme ]A;+∞[
    contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.


    On écrit alors:
    lim x → +∞
    f(x)=+∞


  • Une fonction peut n'avoir
    ni limite finie ni infinie en +∞.
    comme par exemple la fonction sinus.
  • Pour savoir s'il y a une asymptote horizontale
    il faut chercher la limite en +∞ ou -∞.
    Si la fonction admet une limite finieen l'infini,
    et dans ce cas seulement, on en déduit
    qu'il y a une asymptote horizontale d'équation $y=\ell$.

    Pour lancer l'animation, cliquer ici
    asymptote horizontale





limite d'une fonction en a

♦ Pour le savoir, regarde le cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • f a pour limite +∞ en a:
    lorsque tout intervalle de la forme ]A;+∞[ contient toutes les valeurs de f(x)
    pour x assez proche de a.

    On écrit alors:
    lim xa
    f(x)=+∞.
    Dans ce cas, on dit que:

    la droite d'équation x=a est
    asymptote verticale à la courbe de f.

  • Limite à gauche - Limite à droite:
    f a pour limite +∞ en a à droite lorsque:
    tout intervalle de la forme ]A;+∞[ contient toutes les valeurs de f(x)
    pour x assez proche de a par valeur supérieure.

    On écrit alors: \[\lim_{\substack{x \to a\\ x>a}}f(x)=+\infty\] ou $\displaystyle\lim_{x \to a^{+}}f(x)=+\infty$.
    Dans ce cas, on dit que:

    la droite d'équation x=a est
    asymptote verticale à la courbe de f.


    f a pour limite +∞ en a à gauche lorsque:
    tout intervalle de la forme ]A;+∞[ contient toutes les valeurs de f(x)
    pour x assez proche de a par valeur inférieure.

    On écrit alors: \[\lim_{\substack{x \to a\\ x<a}}f(x)=+\infty\] ou $\displaystyle\lim_{x \to a^{-}}f(x)=+\infty$.
    Dans ce cas, on dit que:

    la droite d'équation x=a est
    asymptote verticale à la courbe de f.

  • Pour savoir s'il y a une asymptote verticale
    il faut chercher la limite en a, valeur interdite.
    Si la fonction admet une limite infinie en a,
    et dans ce cas seulement, on en déduit
    qu'il y a une asymptote verticale d'équation
    x=a.
    Pour lancer l'animation, cliquer ici
    asymptote horizontale




Comment trouver une

limite graphiquement

♦ Pour le savoir, regarde le cours en vidéo Cours de math en vidéo
Tracer des fonctions en ligne et lire la limite, clique ici !






limite des fonctions usuelles

♦ Pour les connaitre, regarde le cours en vidéo Cours de math en vidéo
lim x → +∞
x =
\[\lim_{x \to +\infty}x=+\infty\]
lim x → -∞
x =
\[\lim_{x \to -\infty}x=-\infty\]
lim x → +∞
1 / x
=
\[\lim_{x \to +\infty}\frac 1x=0\]
lim x → -∞
1 / x
=
\[\lim_{x \to -\infty}\frac 1x=0\]
lim x → 0
x>0
1 / x
=
\[\lim_{\substack{x \to 0 \\ x\gt 0}}\frac 1x=+\infty\]
lim x → 0
x<0
1 / x
=
\[\lim_{\substack{x \to 0 \\ x\lt 0}}\frac 1x=-\infty\]



Exercice 1: Conjecturer la limite d'une fonction en +∞ et -∞ - asymptote verticale et horizontale
Exercice 2:

Conjecturer la limite d'une fonction - Déterminer la limite graphiquement


Corrigé en vidéo!
Exercice 3: Déterminer la limite d'une fonction graphiquement en un nombre, en +∞, en -∞ et les asymptotes
On a tracé ci-dessous la courbe d'une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\backslash\{-2;1\}\).

Déterminer graphiquement les limites de \(f\) en \(+\infty\), en \(-\infty\), en -2 et en 1 à droite et à gauche.
Indiquer les asymptotes éventuelles.
Exercice 4: Tracer l'allure de la courbe d'une fonction connaissant les limites
Dans chacun des cas suivants, tracer une courbe possible de la fonction \(f\):
a) \[ \left\{\begin{array}{l} \bullet ~ f \text{ est définie sur }\mathbb{R}\\ \bullet \displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x)=1 \\ \bullet \displaystyle\lim_{x \to -\infty}f(x)=+\infty \\ \end{array}\right.\] b) \[ \left\{\begin{array}{l} \bullet ~ f \text{ est définie sur }\mathbb{R}\backslash\{2\}\\ \bullet \displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x)=-\infty \\ \bullet \displaystyle\lim_{x \to -\infty}f(x)=+\infty \\ \bullet \displaystyle\lim_{x \to 2}f(x)=-\infty \\ \end{array}\right.\] c) \[ \left\{\begin{array}{l} \bullet ~ f \text{ est définie sur }\mathbb{R}\backslash\{-1\}\\ \bullet \displaystyle\lim_{x \to -\infty}f(x)=+\infty \\ \bullet \displaystyle\lim_{\substack{x \to -1\\ x<-1}}f(x)=+\infty \\ \bullet \displaystyle\lim_{\substack{x \to -1\\ x>-1}}f(x)=-\infty \\ \bullet \text{ La droite d'équation } y=2 \text{ est}\\ \text{asymptote à la courbe de } f \text{ en } +\infty \end{array}\right.\]
Exercice 5: Lire les limites d'une fonction et asymptotes à partir du tableau de variations
On donne le tableau de variations d'une fonction \(f\):

1) Déterminer les limites de \(f\) en \(+\infty\), en \(-\infty\), en -3 à droite et à gauche.
2) Déterminer une équation des éventuelles asymptotes.
3) Tracer une allure possible de la courbe de \(f\).
Exercice 6: Conjecturer une limite d'une fonction à l'aide de la calculatrice
Dans chaque cas, conjecturer la limite et les asymptotes éventuelles à l'aide de la calculatrice:
a) \[\lim_{\substack{x \to -\infty}}x^3-2x^2+1\]     b) \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}\frac{x^2-1}{x+2}\]     c) \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}\frac{x+3}{x^2+1}\]     d) \[\lim_{\substack{x \to 1\\ x<1}}\frac{1}{1-x}\]     e) \[\lim_{\substack{x \to 1\\ x>1}}\frac{1}{1-x}\]
Exercice 7: Déterminer les asymptotes à partir des limites
Que peut-on déduire des limites suivantes concernant les asymptotes horizontales ou verticales?
a) \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}f(x)=-3\]     b) \[\lim_{\substack{x \to -3\\ x>-3}}f(x)=-\infty\]     c) \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}g(x)=-\infty\]     d) \[\lim_{\substack{x \to -\infty}}g(x)=0\]
Exercice 8: Déterminer les limites d'une fonction à partir des asymptotes
Que peut-on déduire des asymptotes suivantes concernant les limites?
a) La droite d'équation \(x=1\) est asymptote à la courbe de \(f\).
b) La droite d'équation \(y=-2\) est asymptote à la courbe de \(f\) en \(+\infty\).

Limite d'une fonction - approche graphique : Exercices à Imprimer

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