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Fonction exponentielle : compléments



Corrigé en vidéo! Exercice 1:

Fonction exponentielle - Définition


Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$.
  1. Montrer que $f$ ne s'annule jamais sur $\mathbb{R}$.
    On pourra utiliser la fonction $\varphi$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\varphi(x)=f(x)\times f(-x)$ et étudier ses variations.
  2. Montrer qu'il existe au maximum une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$.
    On supposera qu'il existe une autre fonction $g$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $g'=g$ et $g(0)=1$.
    On étudiera les variations de la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h=\frac fg$.
  3. On admet l'existence d'une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$.
    1. Compléter: D'après la question 2. il existe exactement ....... fonction(s) $f$ dérivable(s) sur $\mathbb{R}$ telle(s) que $f'=f$ et $f(0)=1$.
      Cette fonction est appelée fonction exponentielle. On la note $\exp$ et aussi $\exp(x)=e^x$.
    2. D'après cet exercice, écrire ce que l'on sait sur $e^x$?
Corrigé en vidéo! Exercice 2:

Fonction exponentielle - Propriété


L'objectif de cet exercice est de démontrer que pour tous réels $x$ et $y$ : $e^{x+y}=e^x\times e^y$
Rappel: la fonction $f:x\to e^{ax+b}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$ , $f'(x)=ae^{ax+b}$
Soit $y$ un réel fixé. On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=\frac{e^{x+y}}{e^x}$.
Étudier les variations de $h$ et conclure.
Corrigé en vidéo! Exercice 3:

Fonction exponentielle - Propriété


On rappelle que pour tous réels $x$ et $y$ : $ e^{x+y}=e^x\times e^y$.
1) En déduire que pour tout réel $x$, $ e^{-x}=\frac 1 {e^x}$.
2) En déduire que pour tous réels $x$ et $y$ , $ e^{x-y}=\frac{e^x}{e^y}$.
Corrigé en vidéo! Exercice 4:

Fonction exponentielle - Propriété


On rappelle que pour tous réels $x$ et $y$ : $ e^{x+y}=e^x\times e^y$.
Démontrer que pour tout entier naturel $n$ et tout réel $x$, $\displaystyle e^{nx}=\left(e^x\right)^{n}$.
Corrigé en vidéo! Exercice 5:

Fonction exponentielle - Propriété


On rappelle que pour tout réel $x$, et tout entier naturel $n$: $ e^{-x}=\frac 1{e^x}$ et $\displaystyle e^{nx}=\left(e^x\right)^{n}$.
Démontrer que la propriété $\displaystyle e^{nx}=\left(e^x\right)^{n}$ est encore vraie pour $n$ entier négatif.
Corrigé en vidéo! Exercice 6:

Fonction exponentielle - Propriété


On rappelle que pour tous réels $x$ et $y$ : $ e^{x+y}=e^x\times e^y$ et que $e^x\ne 0$.
1) Compléter: pour tout réel $x$, $e^x=\left( e^{...}\right)^2$.
1) En déduire que pour tout réel $x$, $e^x >0$.
2) En déduire les variations de la fonction exponentielle.
Corrigé en vidéo! Exercice 7:

Fonction exponentielle - limite en l'infini - démonstration


1) Montrer que pour tout réel $x$ , $e^x>x$.
2) En déduire $\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}e^x$.
Corrigé en vidéo! Exercice 8:

Fonction exponentielle - limite en l'infini - démonstration


On rappelle que pour tout réel $x$ :$ e^{x}=\frac 1{e^{-x}}$ et $\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}e^x=+\infty$.
En déduire $\lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}e^x$.
Exercice 9: Démonstration des limites du cours - fonction exponentielle \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}\frac{e^x} x\] et \[\lim_{\substack{x \to -\infty}}x e^x\]
L'objectif de cet exercice est de déterminer \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}\frac{e^x} x\]    et   \[\lim_{\substack{x \to -\infty}}x e^x\]
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f(x)=e^x-\frac{x^2} 2\].
    1) Déterminer \(f'(x)\) et \(f''(x)\).
    2) Déterminer le signe de \(f''(x)\) puis de \(f'(x)\) et en déduire les variations de \(f\).
    3) En déduire que pour tout \(x > 0\), \(f(x) \ge 0\).
    4) En déduire \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}\frac{e^x} x\].
    5) En déduire \[\lim_{\substack{x \to -\infty}}x e^x\]. On pourra poser \(X=-x\).

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