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Terminale S

Position relative dans l'espace

♦ Cours les positions relatives de droites et plan dans l'espace en vidéo Cours de math en vidéo

Position relative de 2 droites de l'espace

Penser à utiliser le nombre de point d'intersection:
Si 2 droites ont aucun point d'intersection: elles sont soit coplanaires et parallèles ou non coplanaires.
Si 2 droites ont au moins 1 point d'intersection: elles sont coplanaires.
Si 2 droites ont au moins 2 points d'intersection: elles sont confondues.
Deux droites sont coplanaires signifient qu'elles appartiennent à un même plan.
Deux droites sont non coplanaires
signifient
qu'aucun plan ne contient ces deux droites.
2 droites de l'espace sont soit
coplanaires
parallèles

strictement parallèle
Aucun point d'intersection

confondues
Une infinité de points d'intersection

non parallèles

sécantes en 1 point
1 seul point d'intersection






non coplanaires



Ni parallèles, ni sécantes




Aucun point d'intersection




Position relative d'une droite et d'un plan


Penser à utiliser le nombre de point d'intersection:
Si la droite et le plan ont aucun point d'intersection: la droite est parallèle au plan.
Si la droite et le plan ont au moins 2 point d'intersection: la droite est incluse dans le plan.
  • Pour montrer qu'une droite D est parallèle à un plan:
    Il suffit de montrer qu'il existe une droite d du plan parallèle à D

1 droite et un plan sont soit
parallèles

strictement parallèles
aucun point d'intersection

la droite est incluse dans le plan
une infinité de points d'intersection
non parallèles
sécants en 1 point
1 seul point d'intersection




Position relative de 2 plans


Penser à utiliser le nombre de point d'intersection:
Si les plans ont aucun point d'intersection: ils sont parallèles.
Si les plans ont 1 point d'intersection, ils ont une droite en commun
Si les plans ont 2 point d'intersection, la droite passant par ses 2 points appartient au 2 plans.
Si les plans ont 3 points d'intersection: ils sont confondus.
  • Pour montrer que 2 plans P1 et P2 sont parallèles:
    Il suffit de montrer que 2 droites secantes de P1 sont parallèles à 2 droites de P2 .

Pour trouver l'intersection de 2 plans, utilise les 2 configurations suivantes:
  • Si 2 plans P1 et P2 sont parallèles et P coupe P1 alors
    l'intersection de P et P2 est une droite parallèle à Δ.

  • Théorème du toit:
    Si les droites (AB) et (DE) sont parallèles alors
    l'intersection des plans (ABC) et (CDE) est la droite passant par C parallèle à (AB).
Deux plans sont soit
parallèles

strictement parallèles
aucun point d'intersection

confondus
une infinité de points d'intersection
non parallèles
sécants selon une droite
une infinité de points d'intersection




Section d'un solide par un plan


♦ Cours : comment déterminer la section d'un cube ou d'un tétraèdre par un plan Cours de math en vidéo
  • Utiliser de la couleur  
    Mettre tous les points d'un même plan de la même couleur
    Si un point est de plusieurs couleurs
    il appartient à plusieurs plans.

    Si on cherche la section par le plan (IJK)
    Mettre tous les points du plan (IJK)
    par exemple en rouge,
    pour bien voir tous les points qui sont dans (IJK).

  • Prolonger  
    Si on cherche la section par le plan (IJK):
    Chercher 2 points de (IJK) qui soient dans une même face,
    Relier ces 2 points en rouge
    Prolonger les arêtes de cette face
    et regarder si ces arêtes coupent cette droite rouge,
    pour obtenir de nouveaux points.
    Puis recommencer.

  • Dans un cube  
    Si on cherche la section du cube par le plan (IJK):
    Les faces opposées du cube sont coupées par (IJK)
    selon des droites parallèles.





Corrigé en vidéo
Exercices 1:

Section d'un cube par un plan

- Géométrie dans l'espace
Déterminer la section du cube ABCDEFGH par le plan (IJK).
Corrigé en vidéo
Exercices 2:

Section d'un tétraèdre par un plan

- Géométrie dans l'espace
I et K sont les milieux respectifs des segments [AB] et [DC].
J est un point du segment [AC], distinct du milieu de [AC], et distinct de A et de C.
Déterminer la section du tétraèdre ABCD par le plan (IJK).
Corrigé en vidéo
Exercices 3:

Théorème du toit - géométrie dans l'espace


I, J et K sont les milieux respectifs des segments [AB], [AC] et [DC].
En utilisant le théorème du toit, déterminer la section du tétraèdre ABCD par le plan (IJK).
Corrigé en vidéo
Exercices 4:

Théorème du toit - géométrie dans l'espace - Bac S amérique du nord 2017


Un particulier s’intéresse à l’ombre portée sur sa future véranda par le toit de sa maison quand le soleil
est au zénith. Cette véranda est schématisée ci-dessous en perspective cavalière dans un repère
orthonormé $({\rm O};\vec i;\vec j;\vec k)$. Le toit de la véranda est constitué de deux faces triangulaires $\rm SEF$ et $\rm SFG$.

     Les plans $\rm (SOA)$ et $\rm (SOC)$ sont perpendiculaires.
     Les plans $\rm (SOC)$ et $\rm (EAB)$ sont parallèles, de même que les plans $\rm (SOA)$ et $\rm (GCB)$.
     Les arêtes $\rm [UV ]$ et $\rm [EF]$ des toits sont parallèles.
Le point $\rm K$ appartient au segment $\rm [SE]$, le plan $\rm (UVK)$ sépare la véranda en deux zones, l’une
éclairée et l’autre ombragée. Le plan $\rm (UVK)$ coupe la véranda selon la ligne polygonale $\rm KMNP$
qui est la limite ombre-soleil.

Sans calcul, justifier que :
     a) le segment $\rm [KM]$ est parallèle au segment $\rm [UV]$.
     b) le segment $\rm [NP]$ est parallèle au segment $\rm [UK]$.

Position relative de droite et plan - section plane : Exercices à Imprimer

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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
Agrégé de Mathématiques
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Créateur de jeux de stratégie: Agora et Chifoumi

Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 12 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie