Position relative de droite et plan de l'espace - Section d'un cube par un plan, d'un tétraèdre

♦ Cours les positions relatives de droites et plan dans l'espace en vidéo

Position relative de 2 droites de l'espace

Penser à utiliser le nombre de point d'intersection:
Si 2 droites ont aucun point d'intersection: elles sont soit coplanaires et parallèles ou non coplanaires.
Si 2 droites ont au moins 1 point d'intersection: elles sont coplanaires.
Si 2 droites ont au moins 2 points d'intersection: elles sont confondues.

Deux droites sont coplanaires signifient qu'elles appartiennent à un même plan.

Deux droites sont non coplanaires
signifient
qu'aucun plan ne contient ces deux droites.

2 droites de l'espace sont soit	coplanaires	parallèles	strictement parallèle	Aucun point d'intersection
			confondues	Une infinité de points d'intersection
		non parallèles	sécantes en 1 point	1 seul point d'intersection
	non coplanaires		Ni parallèles, ni sécantes	Aucun point d'intersection

Position relative d'une droite et d'un plan

Penser à utiliser le nombre de point d'intersection:
Si la droite et le plan ont aucun point d'intersection: la droite est parallèle au plan.
Si la droite et le plan ont au moins 2 point d'intersection: la droite est incluse dans le plan.

Pour montrer qu'une droite D est parallèle à un plan:
Il suffit de montrer qu'il existe une droite d du plan parallèle à D

1 droite et un plan sont soit	parallèles	strictement parallèles	aucun point d'intersection
		la droite est incluse dans le plan	une infinité de points d'intersection
	non parallèles	sécants en 1 point	1 seul point d'intersection

Position relative de 2 plans

Penser à utiliser le nombre de point d'intersection:
Si les plans ont aucun point d'intersection: ils sont parallèles.
Si les plans ont 1 point d'intersection, ils ont une droite en commun
Si les plans ont 2 points d'intersection, la droite passant par ces 2 points appartient aux 2 plans.
Si les plans ont 3 points d'intersection non alignés: ils sont confondus.

Pour montrer que 2 plans P₁ et P₂ sont parallèles:
Il suffit de montrer que 2 droites secantes de P₁ sont parallèles à 2 droites de P₂ .

Pour trouver l'intersection de 2 plans, utilise les 2 configurations suivantes:

Si 2 plans P₁ et P₂ sont parallèles et P coupe P₁ alors

l'intersection de P et P₂ est une droite parallèle à Δ.
Théorème du toit:
Si les droites (AB) et (DE) sont parallèles alors

l'intersection des plans (ABC) et (CDE) est la droite passant par C parallèle à (AB).

Deux plans sont soit	parallèles	strictement parallèles	aucun point d'intersection
		confondus	une infinité de points d'intersection
	non parallèles	sécants selon une droite	une infinité de points d'intersection

Section d'un solide par un plan

♦ Cours : comment déterminer la section d'un cube ou d'un tétraèdre par un plan

Utiliser de la couleur

Mettre tous les points d'un même plan de la même couleur

Si un point est de plusieurs couleurs
il appartient à plusieurs plans.

Si on cherche la section par le plan (IJK)

Mettre tous les points du plan (IJK)
par exemple en rouge,
pour bien voir tous les points qui sont dans (IJK).
Prolonger

Si on cherche la section par le plan (IJK):
Chercher 2 points de (IJK) qui soient dans une même face,
Relier ces 2 points en rouge
Prolonger les arêtes de cette face
et regarder si ces arêtes coupent cette droite rouge,
pour obtenir de nouveaux points.
Puis recommencer.
Dans un cube

Si on cherche la section du cube par le plan (IJK):
Les faces opposées du cube sont coupées par (IJK)
selon des droites parallèles.

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Exercices 1:

Section d'un cube par un plan

- Géométrie dans l'espace

Déterminer la section du cube ABCDEFGH par le plan (IJK).

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Exercices 2:

Section d'un tétraèdre par un plan

- Géométrie dans l'espace

I et K sont les milieux respectifs des segments [AB] et [DC].
J est un point du segment [AC], distinct du milieu de [AC], et distinct de A et de C.
Déterminer la section du tétraèdre ABCD par le plan (IJK).

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Exercices 3:

Théorème du toit - géométrie dans l'espace

I, J et K sont les milieux respectifs des segments [AB], [AC] et [DC].
En utilisant le théorème du toit, déterminer la section du tétraèdre ABCD par le plan (IJK).

Corrigé en vidéo

Exercices 4:

Théorème du toit - géométrie dans l'espace - Bac S amérique du nord 2017

Un particulier s’intéresse à l’ombre portée sur sa future véranda par le toit de sa maison quand le soleil
est au zénith. Cette véranda est schématisée ci-dessous en perspective cavalière dans un repère
orthonormé $({\rm O};\vec i;\vec j;\vec k)$. Le toit de la véranda est constitué de deux faces triangulaires $\rm SEF$ et $\rm SFG$.

     Les plans $\rm (SOA)$ et $\rm (SOC)$ sont perpendiculaires.
     Les plans $\rm (SOC)$ et $\rm (EAB)$ sont parallèles, de même que les plans $\rm (SOA)$ et $\rm (GCB)$.
     Les arêtes $\rm [UV ]$ et $\rm [EF]$ des toits sont parallèles.
Le point $\rm K$ appartient au segment $\rm [SE]$, le plan $\rm (UVK)$ sépare la véranda en deux zones, l’une
éclairée et l’autre ombragée. Le plan $\rm (UVK)$ coupe la véranda selon la ligne polygonale $\rm KMNP$
qui est la limite ombre-soleil.

Sans calcul, justifier que :
     a) le segment $\rm [KM]$ est parallèle au segment $\rm [UV]$.
     b) le segment $\rm [NP]$ est parallèle au segment $\rm [UK]$.

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Exercices 5:

géométrie dans l'espace - Bac S centre étranger 2018

La figure ci-dessous représente un cube $\rm ABCDEFGH$. Les points $\rm I$, $\rm J$, $\rm K$ appartiennent respectivement aux segments $\rm [AD]$, $\rm [AE]$ et $\rm [FG]$ .

Construire sur figure sans justifier le point d'intersection $\rm P$ du plan $\rm (IJK)$ et de la droite $\rm (EH)$. On laissera les traits de construction sur la figure.
Construire, en justifiant, l'intersection du plan $\rm(IJK)$ et du plan $\rm (EFG)$.
Construire sans justifier la section du cube par le plan $\rm(IJK)$.

Position relative dans l'espace

Position relative de 2 droites de l'espace

Position relative d'une droite et d'un plan

Position relative de 2 plans

Section d'un solide par un plan

Section d'un cube par un plan

Section d'un tétraèdre par un plan

Théorème du toit - géométrie dans l'espace

Théorème du toit - géométrie dans l'espace - Bac S amérique du nord 2017

géométrie dans l'espace - Bac S centre étranger 2018