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Terminale S

Module d'un nombre complexe


3 méthodes pour calculer un module
Cours en vidéo: comment calculer le module d'un nombre complexe Cours de math en vidéo
  • Méthode 1 :  
    Utiliser les longueurs:
    Soit z l'affixe de M. Le module de z noté |z| est égal à la distance entre M et l'origine du repère.


  • Méthode 2 :  
    Utiliser la formule du cours:
    Si z = a+ib, avec $a$ et $b$ réels,
    le module de z, noté $|z|$ vaut \[|z|=\sqrt{a^2+b^2}\]
    Il n'y a pas de $i$ dans cette formule !



  • Méthode 3 :  
    Utiliser les propriétés du module:
    \[|z_1 \cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|\] \[\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}\]
    Il n'y a pas de propriété pour l'addition ou la soustraction!
    $|z_1+z_2|\ne|z_1|+|z_2|$
    \[z\cdot \overline z=|z|^2\]




Lien entre

longueur et module

Cours en vidéo: Lien entre

module, longueur, cercle, médiatrice

Cours de math en vidéo
  • $|z_B-z_A|=$
    $|z_B-z_A|=AB$  
    Pour appliquer cette propriété, il faut une soustraction!
    $z_A$ et $z_B$ sont les affixes respectives de A et B.
  • $|z_M-z_A|=r \Leftrightarrow$
    $|z_M-z_A|=r \Leftrightarrow AM=r \Leftrightarrow$ M appartient au cercle de centre A et de rayon r
    Pour appliquer cette propriété, il faut une soustraction!
    $z_M$ et $z_A$ sont les affixes respectives de M et A
    $r$ est un réel positif

  • $|z_M-z_A|=|z_M-z_B| \Leftrightarrow$
    $|z_M-z_A|=|z_M-z_B| \Leftrightarrow AM=BM$
    ça signifie que M est équidistant de A et B.
       $\Leftrightarrow$ M appartient à la médiatrice de [AB]

    Pour appliquer cette propriété, il faut des soustractions!
    $z_M$, $z_A$ et $z_B$ sont les affixes respectives de M, A et B.

  • $|z|=0 \Leftrightarrow$
    $|z|=0 \Leftrightarrow z=0$
    Retenir que si le module d'un nombre vaut 0 alors ce nombre vaut 0.

    $|z|=0$
    $\Updownarrow$
    La distance entre M d'affixe $z$ et l'origine vaut 0
    $\Updownarrow$
    M est confondu avec l'origine
    $\Updownarrow$
    $z=0$





1: Module graphiquement et par le calcul - $|z_B-z_A|$ - module et triangle équilatéral
On considère la figure suivante:
1) À l'aide d'un compas, déterminer une valeur approchée
    des longueurs OA, OB, OC, AB, AC et BC.
2) Lire les affixes $z_A$, $z_B$, $z_C$ des points A, B et C.
3) Déterminer $|z_A|$, $|z_B|$, $|z_C|$. Est-ce cohérent?
4) Déterminer $|z_C-z_A|$, $|z_B-z_A|$ et $|z_B-z_C|$. Est-ce cohérent?
5) Le triangle ABC est-il rectangle, isocèle ou équilatéral?


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2: Calculer un module d'un nombre complexe
Déterminer le module de $z$ dans chacun des cas suivants:
\[z=2\] \[z=-3\] \[z=4i\] \[z=\sqrt{3}+3i\] \[z=\frac 2i\] \[z=\cos \frac {\pi}3-i\sin \frac {\pi}3\]
3: Module d'un nombre complexe - Démonstration de cours - ROC
Démontrer que pour tout nombre complexe $z$, $|-z|=|\overline z|=|z|$.

4: Comment utiliser les Propriétés des modules pour calculer un module rapidement
Soit $z_1=\sqrt 2 +i\sqrt 6$ et $z_2=2+2i$.
Déterminer les modules de $z_1$, $z_2$, $-\sqrt 2 -i\sqrt 6$, $2-2i$ et de \[\frac{-\sqrt 2 -i\sqrt 6}{(2-2i)^2}\]
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5: Module d'un produit, d'un quotient, d'une somme
1) Déterminer le module de $z_1=1-i\sqrt 3$ et $z_2=-1+i$.
2) Déterminer le module des nombres suivants, en utilisant si possible la question 1)
\[\frac{-1+i\sqrt 3}{-1-i}\] \[-\frac12(-1+i\sqrt 3)\] \[\frac{(1-i\sqrt 3)^2}{(1-i)^3}\] \[\frac 14-\frac 14i\] \[z_1+z_2\]
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6: Interpréter un module en terme de longueur - lien avec cercle et médiatrice
Déterminer l'ensemble des points M d'affixe $z$ dans chacun des cas suivants:
\[a)~|z-3|=4\] \[b)~|z+1-i|=3\] \[c)~|z+2|=|z-2+3i|\] \[d)~|4-z|=|\overline z-1+2i|\].
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7: D'après le sujet Bac Centres étrangers 2015 exercice 2
Dans le plan muni d'un repère orthonormé, construire l'ensemble $\mathcal{S}$ des points M
dont l'affixe $z$ vérifie les deux conditions: $\left\{ \begin{array}{l} |z-i|=|z+1| \\ |z+3-2i|\le 2 \end{array} \right.$
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8: lieu des points M d'affixe z tels que |z-a|=|z-b| par deux méthodes
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} )$.
On note $\Gamma$ l'ensemble des points M dont l'affixe $z$ vérifie $|z-2-3i|=|z-4+i|$.
1) Justifier que le point $C(1;0)$ appartient à $\Gamma$.
2) Déterminer l'ensemble $\Gamma$ en posant $z=x+iy$ et le représenter.
3) Refaire la question 2) par une autre méthode.
9: Nombre complexe et géométrie - Triangle - point sur un même cercle
On considère les points A, B, C d'affixes respectives $z_A=-1-5i$, $z_B=7+i$ et $z_C=8-2i$.
1) Déterminer la nature du triangle ABC.
2) En déduire que A, B et C sont sur un même cercle. On note I le centre de ce cercle.
    Déterminer l'affixe de I et le rayon de ce cercle.
3) Le point D(0;2) est-il également sur ce cercle? Justifier.
10: Module d'un nombre complexe - point sur un même cercle
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} )$.
À tout point $M$ d'affixe $z$ différente de $3i$, on associe le point $M'$ d'affixe \[z'=\frac{z-2}{iz+3}\].
Déterminer l'ensemble $\mathscr E$ des points M d'affixe $z$ tels que M' soit sur le cercle de centre O et de rayon 1.
11:
On considère les points A, B, C d'affixes respectives $z_A=\sqrt 3+2i$, $z_B=-\overline{z}_A$ et $z_C=-i$.
1) On a placé le point A sur la figure ci-contre:
    Placer les points B et C.
2) Démontrer que le triangle ABC est équilatéral.
3) Soit G, le centre de gravité du triangle ABC.
    a) Placer le point G sur la figure
        en faisant apparaitre les traits de construction.
    b) Rappeler la définition vectorielle de G.
    c) Déterminer $z_G$, l'affixe de G.
4) Soit I le milieu du segment [AG].
    Déterminer $z_I$, l'affixe de I. Placer le point I sur la figure.
5) Soit J, le point tel que GIJC soit un parallélogramme. Déterminer $z_J$, l'affixe de J.
6) Démontrer que les droites (GJ) et (CJ) sont perpendiculaires.
7) En déduire que J est sur un cercle que l'on précisera. Placer J sur la figure.
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12: Suite de nombres complexes - Suite de nombre complexe - Sujet Bac S Antilles Guyane 2015
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} )$.
On a placé un point $M$ d'affixe $z$ sur la figure ci-contre:
Soit $M'$ le point d'affixe \[z'=\frac 12\left(\frac {z+|z|}2 \right)\].
1) Construire le point $M'$ sur la figure en laissant les traits de construction.
2) On définit la suite de nombres complexes ($z_n$) de premier terme $z_0$
    appartenant à $\mathbb{C}$ et pour tout entier naturel $n$: \[z_{n+1}=\frac{z_n+|z_n|}4\].
    a) Que peut-on dire du comportement à l'infini de la suite ($|z_n|$) quand $z_0$ est un réel négatif?
    b) Que peut-on dire du comportement à l'infini de la suite ($|z_n|$) quand $z_0$ est un réel positif?
    c) On suppose désormais que $z_0$ n'est pas un nombre réel.
        Que peut-on dire du comportement à l'infini de la suite ($|z_n|$)? Justifier.
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13: Problème ouvert - Module
Quels sont les nombres complexes $z$ tels $z$, \[\frac{1}{z}\] et $1-z$ aient même module?
14: Problème ouvert
On rappelle la régle du produit nul:     $x.y=0 \Rightarrow x=0$ ou $y=0$
Cette règle qui est vraie avec des nombres réels, est-elle encore vraie avec des nombres complexes?
QCM en ligne!
Exercice en ligne: pour s'entrainer au calcul de

module de nombre complexe


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Qui sommes-nous? Nicolas Herla
Agrégé de Mathématiques
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Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 12 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie