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Argument d'un nombre complexe


Argument d'un nombre complexe
♦ Cours sur l'argument en vidéo Cours de math en vidéo
  • Soit z, non nul, l'affixe de M. Un argument de z noté arg(z)=
    $\arg(z)$ est égal à une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right)$.
    On ne peut parler d'argument que si
    $z$ est non nul.

    Si $z=0$,
    ça n'a pas de sens de parler d'argument!


    Un argument est défini à 2π près.

    Si $\alpha$ est un argument de $z$,
    $\alpha+2\pi$ est un autre argument de $z$

    C'est pour cela
    qu'on ne dit pas l'argument
    Mais un argument.

  • Pour trouver un argument de z  
    1°) On calcule le module de $z$, noté |z|
    2°) On appelle α un argument de z
         On calcule cos(α) =
    a / |z|
    et sin(α) =
    b / |z|

    3°) On trouve α
        à l'aide du cercle trigonométrique
  • \[\arg(\overline z)=\]
    $\arg(\overline z)=-\arg(z)$   $[2\pi]$
    • Cette propriété est vraie à 2$\pi$ près!
    • Ne pas oublier que $z$ est un complexe non nul.

    \[\arg(-z)=\]
    $\arg(-z)=\arg(z)+\pi$   $\left[2\pi\right]$
    • Cette propriété est vraie à 2$\pi$ près!
    • Ne pas oublier que $z$ est un complexe non nul.

    arg(réel)
    Si $r\gt 0$ $\arg(r)=0$

    car $\arg(r)=\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right)=0$

    Si $r\lt 0$ , $\arg(r)=\pi$

    car $\arg(r)=\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right)=\pi$

    \[\arg(i)=\]
    \[\arg(i)=\frac{\pi}2\]

    car \[\arg(i)=\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right)=\frac{\pi}2\]

  • $z_1=z_2$
    $z_1=z_2$
    $\Updownarrow$
    $z_1$ et $z_2$ ont même partie réelle et même partie imaginaire
    $\Updownarrow$
    $z_1$ et $z_2$ ont même module et même argument à $2\pi$ près
    $z_1$ et $z_2$ sont 2 complexes non nuls.





Forme trigonométrique

♦ Cours sur la forme trigonométrique d'un nombre complexe, en vidéo Cours de math en vidéo
  • Soit z un complexe de module r et d'argument $\alpha$ alors  
    $z=r(\cos\alpha + i \sin\alpha)$
    On dit qu'on a écrit $z$ sous forme trigonométrique.

  • Pour écrire $z$, non nul, sous forme trigonométrique  
    1) Déterminer le module de $z$
    Si $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ réels:
    \[|z|=\sqrt{a^2+b^2}\]

    2) Puis un argument de $z$
    Si $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ réels:
    1) On note $\alpha$ un argument de $z$.
    2) Puis on utilise les formules:
    \[\cos\alpha=\frac a{|z|}\] et \[\sin\alpha=\frac b{|z|}\]
    3) On trouve $\alpha$ à l'aide du cercle trigo.


    3) Puis remplacer dans la formule $z=r(\cos\alpha + i \sin\alpha)$
        $r$ par le module de $z$ et $\alpha$ par un argument de $z$.
  • Si $z=r(\cos\alpha + i \sin\alpha)$ alors  
    Si $z=r(\cos\alpha + i \sin\alpha)$ avec r strictement positif et $\alpha$ réel
    alors
    le module de $z$ vaut $r$ et un argument de $z$ vaut $\alpha$
    Si $r$ n'est pas positif, on ne peut pas conclure directement.
    Voir les exercices.





Notation exponentielle

♦ Cours sur la notation exponentielle d'un nombre complexe, en vidéo Cours de math en vidéo
  • L'expression cosα + isinα=
    $\cos\alpha + i\sin\alpha$ est noté $e^{i\alpha}$ où $\alpha$ est un nombre réel
    Autrement dit: $e^{i\alpha}=\cos\alpha + i\sin\alpha$


    $\left|e^{i\alpha}\right|=$
    $\left|e^{i\alpha}\right|=1$
    où $\alpha$ est un nombre réel.
    et arg(e) = 
    un argument de $e^{i\alpha}$ est $\alpha$
    où $\alpha$ est un nombre réel.
  • si $z$ est un nombre complexe de module r et d'argument α alors 
    $z=re^{i\alpha}$
    On dit qu'on a écrit $z$ sous

    forme exponentielle

    .
  • Pour écrire $z$, non nul, sous forme exponentielle 
    Comme pour la forme trigonométrique:
    1) Déterminer le module de $z$
    Si $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ réels:
    \[|z|=\sqrt{a^2+b^2}\]

    2) Puis un argument de $z$
    Si $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ réels:
    1) On note $\alpha$ un argument de $z$.
    2) Puis on utilise les formules:
    \[\cos\alpha=\frac a{|z|}\] et \[\sin\alpha=\frac b{|z|}\]
    3) On trouve $\alpha$ à l'aide du cercle trigo.


    3) Puis remplacer dans la formule $z=re^{i\alpha}$
        $r$ par le module de $z$ et $\alpha$ par un argument de $z$.
  • Si $z=re^{i\alpha}$ alors  
    Si $z=re^{i\alpha}$ avec r positif et $\alpha$ réel
    alors
    le module de $z$ vaut $r$ et un argument de $z$ vaut $\alpha$
    Si $r$ n'est pas positif, on ne peut pas conclure directement.
    Voir les exercices.


  • \[e^{i(\alpha+\beta)}\]
    \[e^{i(\alpha+\beta)}=e^{i\alpha}e^{i\beta}\]
    Même règle que pour les puissances.
    $\alpha$ et $\beta$ sont des réels.

    \[e^{i(\alpha-\beta)}\]
    \[e^{i(\alpha-\beta)}=\frac{e^{i\alpha}}{e^{i\beta}}\]
    Même règle que pour les puissances.
    $\alpha$ et $\beta$ sont des réels.

    \[\left(e^{i\alpha}\right)^n\]
    \[\left(e^{i\alpha}\right)^n=e^{in\alpha}\]
    Même règle que pour les puissances.
    $\alpha$ est réel et $n$ est entier.

    Cette formule s'appelle la formule de Moivre.
    \[\left(e^{i\alpha}\right)^n=e^{in\alpha}\]
    écrit sous forme trigonométrique:
    \[\left(\cos \alpha+i\sin\alpha\right)^n=\cos(n\alpha)+i\sin(n\alpha)\]

    \[\overline{e^{i\alpha}}\]
    \[\overline{e^{i\alpha}}=e^{-i\alpha}\]
    $\alpha$ est un nombre réel.
    \[e^{i\pi}\]
    \[e^{i\pi}=-1\]
    Attention, une exponentielle complexe peut être négative !
    Alors qu'une exponentielle réelle est toujours strictement positive.

    \[e^{i\frac{\pi}2}\]
    \[e^{i\frac{\pi}2}=i\]




Argument et angle

♦ Cours en vidéo sur l'utilisation des arguments, en particulier en géométrie Un peu de patience, la vidéo est bientôt prête

  • \[\arg(z_1z_2)\]
    $\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)$ $[2\pi]$
    $z_1$ et $z_2$ sont des complexes non nuls

    \[\arg(z_1+z_2)\]
    Il n'y a pas de formule pour l'addition.
    $\arg(z_1+z_2)$ n'est pas égal à $\arg(z_1)+\arg(z_2)$
    \[\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)\]
    \[\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\arg(z_1)-\arg(z_2)\] $[2\pi]$
    $z_1$ et $z_2$ sont des complexes non nuls

    \[\arg\left(z^n\right)\]
    \[\arg\left(z^n\right)=n\arg(z)\] $[2\pi]$
    $z$ est un complexe non nul
    $n$ est un entier.

  • $\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right)$= 
    $\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right)=\arg(z_B-z_A)$
    A et B sont 2 points distincts
    dans un repère orthonormé (O;$\overrightarrow{u}$;$\overrightarrow{v}$).
    $z_A$ et $z_B$ sont les affixes respectives de A et B.

    \[\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\]
    \[\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)=\arg\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)\]
    A, B et C sont 3 points distincts 2 à 2
    dans un repère orthonormé (O;$\overrightarrow{u}$;$\overrightarrow{v}$).
    $z_A$, $z_B$, et $z_C$ sont les affixes respectives de A, B et C.



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Exercices 1:

Lire le module et un argument d'un nombre complexe

- forme trigonométrique - exponentielle
Dans un repère orthonormé direct, on considère les points A, B, C, D, E et F.
On note \(z_A,~ z_B,~ z_C,~ z_D,~ z_E,~ z_F\) leurs affixes respectives.

1) Déterminer le module et un argument de \(z_A,~ z_B,~ z_C,~ z_D,~ z_E,~ z_F\).
2) Écrire \(z_A,~ z_B,~ z_C,~ z_D,~ z_E,~ z_F\) sous forme trigonométrique, exponentielle et algébrique.
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Exercices 2: Déterminer le module et un argument -

forme trigonométrique et exponentielle d'un nombre complexe


1) Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants:
\(z_1=3\)\(z_2=-4\)\(z_3=i\)\(z_4=-3i\)
\(z_5=2+2i\)\(z_6=2-2i\)\(z_7=-\sqrt 3+3i\)
2) Écrire ces nombres complexes sous forme trigonométrique et exponentielle.
Exercices 3:

Propriétés de l'argument d'un nombre complexe


Soit \(z\) un nombre complexe non nul.
1) Exprimer \(\arg(\overline z)\) en fonction de \(\arg(z)\).
2) Exprimer \(\arg(-z)\) en fonction de \(\arg(z)\).
3) Exprimer \(\arg(-\overline z)\) en fonction de \(\arg(z)\).
Corrigé en vidéo
Exercices 4: Utiliser les propriétés des arguments d'un nombre complexe
1) Déterminer un argument de \(z_1=1+i\) et \[z_2=-3+\sqrt 3i\].
2) En déduire un argument des nombres complexes suivants:
\[z_1\times z_2\]\[-3-\sqrt 3i\] \[-\frac12(1+i)\]\[-1-i\] \[\frac{(3-\sqrt 3i) ^2}{(1-i)^3}\]
Corrigé en vidéo
Exercices 5: Piège avec les arguments - Ecrire sous forme exponentielle - trigonométrique
1) Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants:
\[z_1=2(\cos \frac {\pi} 4+i \sin \frac {\pi} 4)\] \[z_2=-2(\cos \frac {\pi} 4+i \sin \frac {\pi} 4)\]
\[z_3=2(-\cos \frac {\pi} 4+i \sin \frac {\pi} 4)\] \[z_4=2(\cos \frac {\pi} 4-i \sin \frac {\pi} 4)\]
2) Écrire ces nombres complexes sous forme exponentielle.
Corrigé en vidéo!
Exercices 6:

Ensemble de points et argument d'un nombre complexe

- lieu de points et argument
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \((O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} )\).
1) Déterminer le lieu des points M d'affixe \(z\) tel que \[\arg(z)=\frac \pi 6 ~[2\pi]\].
2) Déterminer le lieu des points M d'affixe \(z\) tel que \[\arg(z)=\frac \pi 6 ~[\pi]\].
3) Déterminer le lieu des points M d'affixe \(z\) tel que \[\arg(z+i)=-\frac {3\pi} 4 ~[2\pi]\]
Corrigé en vidéo!
Exercices 7: Ecrire un nombre complexe sous forme exponentielle - trigonométrique
Écrire les nombres suivants sous forme exponentielle:
\(z_1=2-2i\) \[z_2=-3 \left(\cos \frac \pi 3-i\sin \frac \pi 3\right)\] \[z_3=\frac 1{-\sqrt 2+i\sqrt 6}\]
Corrigé en vidéo
Exercices 8: Ecrire un nombre complexe sous forme exponentielle - trigonométrique
Écrire les nombres suivants sous forme exponentielle:
\[z_1=-4e^{i\frac \pi 5}\] \[z_2=\frac{-3(1+i)}{-\sqrt 3+3i}\] \[z_3=-\sqrt 5 (-2\sqrt 3+6i)^2e^{-i\frac{2\pi} 3}\]
Corrigé en vidéo
Exercices 9:

Equation du second degré à coefficient complexe avec l'exponentielle complexe


Résoudre dans $\mathbb{C}$, l'équation $z^2=-i$.

Corrigé en vidéo Exercices 10:

Problème ouvert - équation du troisième degré et nombre complexe - Racines cubique de l'unité


Résoudre dans $\mathbb{C}$, l'équation $z^3=1$.

Exercices 11: Passer de l'

exponentielle complexe à la forme algébrique


Déterminer la forme algébrique des nombres suivants:
\[z_1=e^{i\pi}\] \[z_2=e^{i \frac \pi 2}-2e^{i\frac \pi 3}\] \[z_3=1-e^{-i\frac \pi 2}+3e^{-i\frac \pi 4}\] \[z_4=\frac {-2e^{i\frac {2\pi}3}}{e^{i\frac \pi 4}}\]
Corrigé en vidéo!
Exercices 12: Nombre complexe et angle - Déterminer un

angle à l'aide des arguments


Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \((O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} )\).
On considère les points A et B d'affixes respectives \[z_A=-\sqrt 2-\sqrt 2i\] et \[z_B=\sqrt 3-3i\].
1) Déterminer le module et un argument de \(z_A\) et \(z_B\).
2) Tracer un repère orthonormé et placer les points A et B à l'aide d'un compas et d'une règle.
3) Déduire de la question 1) une mesure de l'angle (\(\overrightarrow {OA}~,~\overrightarrow {OB}\)).
Exercices 13: Déterminer l'angle (AB;AC) avec les complexes
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \((O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} )\).
On rappelle que \[\left\{ \begin{array}{l@{~}c@{~}l} \arg(\frac {z_2}{z_1})=\arg(z_2)-\arg(z_2) \\\\ (\overrightarrow{u};\overrightarrow{AB})=\arg(z_B-z_A) \end{array} \right.\]
A l'aide du rappel, démontrer que \[(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})=\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\].
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Exercices 14: Lien entre angle et argument - Angle (AB;AC) - Complexe et rectangle
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \((O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} )\). On considère les points A, B, C et D
d'affixes respectives \(z_A=-3+i\), \(z_B=5-i\), \(z_C=6+3i\) et \(z_D=-2+5i\).
1) Faire une figure et placer les points A, B, C et D.
2) Quelle conjecture peut-on faire concernant le quadrilatère ABCD.
3) Déterminer l'affixe des vecteurs \(\overrightarrow {AB}\) et \(\overrightarrow {DC}\). Que peut-on conclure? Justifier.
4) Calculer \[\frac{z_D-z_A}{z_B-z_A}\]. Donner le résultat sous forme algébrique.
5) En déduire une mesure de l'angle (\(\overrightarrow {AB},~\overrightarrow {AD}\)). Que peut-on en conclure?
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Exercices 15: cos(pi/12) et sin(pi/12)
Soit \[z_1=1+i\sqrt 3\] et \[z_2=1+i\].
1) Écrire \(z_1\) et \(z_2\) sous forme trigonométrique et exponentielle.
2) En déduire une forme trigonométrique de \(z_1\times z_2\).
3) Déterminer la forme algébrique de \(z_1\times z_2\).
4) En déduire la valeur exacte de \[\cos \frac{7\pi}{12}\] et \[\sin \frac{7\pi}{12}\].
5) Que faut-il changer à la méthode précédente pour déduire la valeur exacte de \[\cos \frac{\pi}{12}\] et \[\sin \frac{\pi}{12}\].
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Exercices 16: Type Bac - Nombre complexe - équation - conjugué - forme exponentielle
On considère l'équation (E): \[z^4=-4\].
1) Montrer que \[z_1=1+i\] est solution de (E).
2) Écrire \(z_1\) sous forme exponentielle. Refaire la question 1)
3) Montrer que si \(z\) est solution de (E) alors \(-z\) et \(\overline z\) sont aussi solutions de (E).
4) En déduire trois autres solutions de (E).
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Exercices 17: Condition pour qu'un nombre complexe soit réel, positif, négatif, imaginaire pur
Soit $n$ un entier naturel.
1) Pour quelles valeurs de $n$, $(1+i)^n$ est-il un réel positif?
2) Pour quelles valeurs de $n$, $(1+i)^n$ est-il un réel?
3) Pour quelles valeurs de $n$, $(1+i)^n$ est-il un imaginaire pur?
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Exercices 18: Bac Liban 2018 nombre complexe
Pour tout entier naturel $n$, on pose ${\rm S}_n=(1+i)^n+(1-i)^n$.
1) Écrire $1+i$ et $1-i$ sous forme exponentielle.
2) Lætitia affirme que pour tout entier naturel $n$, ${\rm S}_n$ est un nombre réel. A-t-elle raison? Justifier.
3) Existe-il une infinité d'entiers naturels $n$ tels que ${\rm S}_n=0$?
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Exercices 19: Démontrer un alignement à l'aide des nombres complexes
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} )$.
À tout point $M$ différent de O, d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe \[z'=-\frac 1{\overline z}\].
Démontrer que $O$, $M$ et $M'$ sont alignés.
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Exercices 20: Suite de nombres complexes et points alignés
On considère la suite de nombres complexes $(z_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $$ \displaystyle z_n=(1-i\sqrt 3)^n$$ Pour tout entier naturel $n$, on note ${\rm M}_n$ le point d'affixe $z_n$.
Pour tout entier naturel $n$, les points ${\rm M}_n,$ ${\rm O}$ et ${\rm M}_{n+3}$ sont-ils alignés?
Exercices 21: Fonction complexe - D'après sujet de Bac
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} )$.
À tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'=z^2+4z+3$.
Un point $M$ est dit invariant lorsqu'il est confondu avec le point $M'$ associé.
Démontrer qu'il existe deux points invariants.
Donner l'affixe de chacun de ces points sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.
Exercices 22: Exercice type bac
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \((O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} )\).
A tout point M d'affixe \(z\), on associe le point M' d'affixe \[z'=1+z+z^2\].
1) Démontrer que \[e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}\] est réel.
2) En déduire que si \[z=e^{i\alpha}\] alors \[\frac{z'}z\] est réel.
3) Que peut-on en déduire concernant les points O, M et M'. Justifier.
Corrigé en vidéo
Exercices 23: Nombre complexe - Type bac - Forme exponentielle - Ensemble de point - Cercle
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \((O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} )\).
A tout point \(M\) d'affixe \(z\), non nulle, on associe le point \(M'\) d'affixe \[z'=\frac 12 (z+\frac 1z)\].
\(M'\) est appelé l'image de \(M\). \(A\) et \(B\) sont les points d'affixes respectives -1, 1.
1) Soit le point \(C(1;1)\) et \(C'\) son image. Déterminer les coordonnées de \(C'\).
2) Déterminer les points \(M\) tels que \(M'=M\).
3) Déterminer les points \(M\) qui ont pour image \(O\).
4) Démontrer que pour tout réel \(\alpha\), \[e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}=2\cos \alpha\]
5) En déduire que si \(M\) appartient au cercle de centre \(O\) et de rayon 1, \(M'\) appartient au segment \([AB]\).
Corrigé en vidéo
Exercices 24:

Baccalauréat terminale S métropole septembre 2013

exercice 2
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct d'origine O.
On désigne par B et C deux points du plan dont les affixes respectives \(b\) et \(c\) vérifient l'égalité:
$\displaystyle{ \frac c b=\sqrt 2 e^{i\frac{\pi}{4}} }$
a) Le triangle OBC est-il isocèle en O? Justifier.
b) Les points O,B,C sont-ils alignés? Justifier.
c) Le triangle O,B,C est-il isocèle et rectangle en B? Justifier.
Exercices 25:

Propriétés du nombres $j$


Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} )$.
Soit le nombre complexe $j=-\frac 12+i\frac{\sqrt 3}2$.
1) Montrer que $j$ est solution de l'équation $z^2+z+1=0$.
2) Écrire $j$ sous forme exponentielle.
3) Démontrer que $j^3=1$ et que $j^2=-1-j$.
4) Soient P, Q et R les points d'affixes respectives 1, $j$ et $j^2$. Quelle est la nature du triangle PQR? Justifier.
Exercices 26:

Problème ouvert - Somme et nombre complexe


Calculer les sommes:
     $1+\cos(x)+\cos(2x)+ ... +\cos(nx)$.
     $1+\sin(x)+\sin(2x)+ ... +\sin(nx)$.
où $n$ est un entier naturel et $x\in \left]0;\frac{\pi}{2} \right[$.

Exercices: Argument d'un nombre complexe : Imprimer

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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
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Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 14 ans
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