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Exercices 1:
Lire le module et un argument d'un nombre complexe
- forme trigonométrique - exponentielle
Dans un repère orthonormé direct, on considère les points A, B, C, D, E et F.
On note \(z_A,~ z_B,~ z_C,~ z_D,~ z_E,~ z_F\) leurs affixes respectives.

1) Déterminer le module et un argument de \(z_A,~ z_B,~ z_C,~ z_D,~ z_E,~ z_F\).
2) Écrire \(z_A,~ z_B,~ z_C,~ z_D,~ z_E,~ z_F\) sous forme trigonométrique, exponentielle et algébrique.
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Exercices 2: Déterminer le module et un argument -
forme trigonométrique et exponentielle d'un nombre complexe
1) Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants:
\(z_1=3\) | \(z_2=-4\) | \(z_3=i\) | \(z_4=-3i\) |
\(z_5=2+2i\) | \(z_6=2-2i\) | \(z_7=-\sqrt 3+3i\) | |
2) Écrire ces nombres complexes sous forme trigonométrique et exponentielle.
Exercices 3:
Propriétés de l'argument d'un nombre complexe
Soit \(z\) un nombre complexe non nul.
1) Exprimer \(\arg(\overline z)\) en fonction de \(\arg(z)\).
2) Exprimer \(\arg(-z)\) en fonction de \(\arg(z)\).
3) Exprimer \(\arg(-\overline z)\) en fonction de \(\arg(z)\).
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Exercices 4: Utiliser les propriétés des arguments d'un nombre complexe
1) Déterminer un argument de \(z_1=1+i\) et
\[z_2=-3+\sqrt 3i\].
2) En déduire un argument des nombres complexes suivants:
\[z_1\times z_2\] | \[-3-\sqrt 3i\] |
\[-\frac12(1+i)\] | \[-1-i\] |
\[\frac{(3-\sqrt 3i) ^2}{(1-i)^3}\] |
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Exercices 5: Piège avec les arguments - Ecrire sous forme exponentielle - trigonométrique
1) Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants:
\[z_1=2(\cos \frac {\pi} 4+i \sin \frac {\pi} 4)\] |
\[z_2=-2(\cos \frac {\pi} 4+i \sin \frac {\pi} 4)\] |
\[z_3=2(-\cos \frac {\pi} 4+i \sin \frac {\pi} 4)\] |
\[z_4=2(\cos \frac {\pi} 4-i \sin \frac {\pi} 4)\] |
2) Écrire ces nombres complexes sous forme exponentielle.
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Exercices 6:
Ensemble de points et argument d'un nombre complexe
- lieu de points et argument
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \((O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} )\).
1) Déterminer le lieu des points M d'affixe \(z\) tel que \[\arg(z)=\frac \pi 6 ~[2\pi]\].
2) Déterminer le lieu des points M d'affixe \(z\) tel que \[\arg(z)=\frac \pi 6 ~[\pi]\].
3) Déterminer le lieu des points M d'affixe \(z\) tel que \[\arg(z+i)=-\frac {3\pi} 4 ~[2\pi]\]
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Exercices 7: Ecrire un nombre complexe sous forme exponentielle - trigonométrique
Écrire les nombres suivants sous forme exponentielle:
\(z_1=2-2i\) |
\[z_2=-3 \left(\cos \frac \pi 3-i\sin \frac \pi 3\right)\] |
\[z_3=\frac 1{-\sqrt 2+i\sqrt 6}\] |
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Exercices 8: Ecrire un nombre complexe sous forme exponentielle - trigonométrique
Écrire les nombres suivants sous forme exponentielle:
\[z_1=-4e^{i\frac \pi 5}\] |
\[z_2=\frac{-3(1+i)}{-\sqrt 3+3i}\] |
\[z_3=-\sqrt 5 (-2\sqrt 3+6i)^2e^{-i\frac{2\pi} 3}\] |
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Exercices 9:
Equation du second degré à coefficient complexe avec l'exponentielle complexe
Résoudre dans $\mathbb{C}$, l'équation $z^2=-i$.
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Exercices 10:
Problème ouvert - équation du troisième degré et nombre complexe - Racines cubique de l'unité
Résoudre dans $\mathbb{C}$, l'équation $z^3=1$.
Exercices 11: Passer de l'
exponentielle complexe à la forme algébrique
Déterminer la forme algébrique des nombres suivants:
\[z_1=e^{i\pi}\] |
\[z_2=e^{i \frac \pi 2}-2e^{i\frac \pi 3}\] |
\[z_3=1-e^{-i\frac \pi 2}+3e^{-i\frac \pi 4}\] |
\[z_4=\frac {-2e^{i\frac {2\pi}3}}{e^{i\frac \pi 4}}\] |
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Exercices 12: Nombre complexe et angle - Déterminer un
angle à l'aide des arguments
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \((O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} )\).
On considère les points A et B d'affixes respectives \[z_A=-\sqrt 2-\sqrt 2i\] et \[z_B=\sqrt 3-3i\].
1) Déterminer le module et un argument de \(z_A\) et \(z_B\).
2) Tracer un repère orthonormé et placer les points A et B à l'aide d'un compas et d'une règle.
3) Déduire de la question 1) une mesure de l'angle (\(\overrightarrow {OA}~,~\overrightarrow {OB}\)).
Exercices 13: Déterminer l'angle (AB;AC) avec les complexes
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \((O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} )\).
On rappelle que \[\left\{
\begin{array}{l@{~}c@{~}l}
\arg(\frac {z_2}{z_1})=\arg(z_2)-\arg(z_2) \\\\ (\overrightarrow{u};\overrightarrow{AB})=\arg(z_B-z_A)
\end{array}
\right.\]
A l'aide du rappel, démontrer que \[(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})=\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\].
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Exercices 14: Lien entre angle et argument - Angle (AB;AC) - Complexe et rectangle
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \((O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} )\).
On considère les points A, B, C et D
d'affixes respectives \(z_A=-3+i\), \(z_B=5-i\), \(z_C=6+3i\) et \(z_D=-2+5i\).
1) Faire une figure et placer les points A, B, C et D.
2) Quelle conjecture peut-on faire concernant le quadrilatère ABCD.
3) Déterminer l'affixe des vecteurs \(\overrightarrow {AB}\) et \(\overrightarrow {DC}\). Que peut-on conclure? Justifier.
4) Calculer \[\frac{z_D-z_A}{z_B-z_A}\]. Donner le résultat sous forme algébrique.
5) En déduire une mesure de l'angle (\(\overrightarrow {AB},~\overrightarrow {AD}\)). Que peut-on en conclure?
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Exercices 15: cos(pi/12) et sin(pi/12)
Soit \[z_1=1+i\sqrt 3\] et \[z_2=1+i\].
1) Écrire \(z_1\) et \(z_2\) sous forme trigonométrique et exponentielle.
2) En déduire une forme trigonométrique de \(z_1\times z_2\).
3) Déterminer la forme algébrique de \(z_1\times z_2\).
4) En déduire la valeur exacte de \[\cos \frac{7\pi}{12}\] et \[\sin \frac{7\pi}{12}\].
5) Que faut-il changer à la méthode précédente pour déduire la valeur exacte de \[\cos \frac{\pi}{12}\] et \[\sin \frac{\pi}{12}\].
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Exercices 16: Type Bac - Nombre complexe - équation - conjugué - forme exponentielle
On considère l'équation (E): \[z^4=-4\].
1) Montrer que \[z_1=1+i\] est solution de (E).
2) Écrire \(z_1\) sous forme exponentielle. Refaire la question 1)
3) Montrer que si \(z\) est solution de (E) alors \(-z\) et \(\overline z\) sont aussi solutions de (E).
4) En déduire trois autres solutions de (E).
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Exercices 17: Condition pour qu'un nombre complexe soit réel, positif, négatif, imaginaire pur
Soit $n$ un entier naturel.
1) Pour quelles valeurs de $n$, $(1+i)^n$ est-il un réel positif?
2) Pour quelles valeurs de $n$, $(1+i)^n$ est-il un réel?
3) Pour quelles valeurs de $n$, $(1+i)^n$ est-il un imaginaire pur?
Exercices 18: Démontrer un alignement à l'aide des nombres complexes
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} )$.
À tout point $M$ différent de O, d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe \[z'=-\frac 1{\overline z}\].
Démontrer que $O$, $M$ et $M'$ sont alignés.
Exercices 19: Fonction complexe - D'après sujet de Bac
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} )$.
À tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'=z^2+4z+3$.
Un point $M$ est dit invariant lorsqu'il est confondu avec le point $M'$ associé.
Démontrer qu'il existe deux points invariants.
Donner l'affixe de chacun de ces points sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.
Exercices 20: Exercice type bac
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \((O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} )\).
A tout point M d'affixe \(z\), on associe le point M' d'affixe \[z'=1+z+z^2\].
1) Démontrer que \[e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}\] est réel.
2) En déduire que si \[z=e^{i\alpha}\] alors \[\frac{z'}z\] est réel.
3) Que peut-on en déduire concernant les points O, M et M'. Justifier.
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Exercices 21: Nombre complexe - Type bac - Forme exponentielle - Ensemble de point - Cercle
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \((O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} )\).
A tout point \(M\) d'affixe \(z\), non nulle, on associe le point \(M'\) d'affixe \[z'=\frac 12 (z+\frac 1z)\].
\(M'\) est appelé l'image de \(M\). \(A\) et \(B\) sont les points d'affixes respectives -1, 1.
1) Soit le point \(C(1;1)\) et \(C'\) son image. Déterminer les coordonnées de \(C'\).
2) Déterminer les points \(M\) tels que \(M'=M\).
3) Déterminer les points \(M\) qui ont pour image \(O\).
4) Démontrer que pour tout réel \(\alpha\), \[e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}=2\cos \alpha\]
5) En déduire que si \(M\) appartient au cercle de centre \(O\) et de rayon 1, \(M'\) appartient au segment \([AB]\).
Exercices 22:
Baccalauréat terminale S métropole septembre 2013
exercice 2
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct d'origine O.
On désigne par B et C deux points du plan dont les affixes respectives \(b\) et \(c\) vérifient l'égalité:
\[\frac c b=\sqrt 2 e^{i\frac{\pi}{4}}\]
a) Le triangle OBC est-il isocèle en O? Justifier.
b) Les points O,B,C sont-ils alignés? Justifier.
c) Le triangle O,B,C est-il isocèle et rectangle en B? Justifier.
Exercices 23:
Propriétés du nombres $j$
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} )$.
Soit le nombre complexe $j=-\frac 12+i\frac{\sqrt 3}2$.
1) Montrer que $j$ est solution de l'équation $z^2+z+1=0$.
2) Écrire $j$ sous forme exponentielle.
3) Démontrer que $j^3=1$ et que $j^2=-1-j$.
4) Soient P, Q et R les points d'affixes respectives 1, $j$ et $j^2$. Quelle est la nature du triangle PQR? Justifier.
Exercices 24:
Problème ouvert - Somme et nombre complexe
Calculer les sommes:
$1+\cos(x)+\cos(2x)+ ... +\cos(nx)$.
$1+\sin(x)+\sin(2x)+ ... +\sin(nx)$.
où $n$ est un entier naturel et $x\in \left]0;\frac{\pi}{2} \right[$.