j'ai compris mes maths
J'ai compris.com
Cours et exercices corrigés en vidéo comme en classe
lycée
collège
primaire
Manuel scolaire

Web


Jaicompris.com est soutenu par l'éducation nationale
et l'académie de Poitiers

Ce sera prêt pour 2018

Ce sera prêt pour 2017

Terminale S

Equation avec des nombres complexes

4 techniques pour résoudre une équation
le cours en vidéo:

équation et nombre complexe

Cours de math en vidéo
• Méthode 1:  
Commence par essayer d'isoler $z$

• Méthode 2:  
Si la méthode 1, ne marche pas 1°) Ecris l'équation sous la forme ... = 0 2°) Factorise, au maximum 3°) Applique la règle du produit nul S'il y a des fractions, pense à mettre au même dénominateur et à appliquer le produit en croix

• Méthode 3:  
Si tu n'arrives pas à factoriser et que c'est une

équation du second degré

à coefficients réels:
$ax^2+bx+c=0$       
avec $a$, $b$ et $c$ réels et $a$ non nul
Si $a$ était nul, ce ne serait plus une équation du second degré!

1°) Calcule le

discriminant

$\Delta=b^2-4ac$
2°) Si Δ > 0, l'équation a 2 solutions qui sont réelles \[\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\] et \[\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\] .
3°) Si Δ =0 , l'équation a 1 seule solution qui est réelle \[\frac{-b}{2a}\] . La solution est réelle.
4°) Si Δ < 0 , l'équation a 2 solutions qui sont complexes conjuguées \[\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}\] et \[\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}\]       
$\Delta$ est négatif
Donc $-\Delta$ est positif
Donc $\sqrt{-\Delta}$ a un sens!
.
Parfois, on doit résoudre,
une équation du second degré à coefficient complexe,
Aucune théorie n'est à connaitre.
Les solutions, ne sont pas forcement conjuguées!

• Méthode 4:  
Dans les autres cas: 1°) Pose z=a+ib puis remplace chaque z par a+ib 2°) Identifie partie réelle et imaginaire, comme expliqué dans la vidéo





Corrigé en vidéo!

Exercices 1: Equation du premier degré avec des nombres complexes


Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes:
\[a)~3iz+1=i\] \[b)~z-3i=iz+2\]
Corrigé en vidéo! Exercices 2: Équation du second degré et nombre complexe - Le discriminant, ce n'est pas toujours nécessaire!
Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes:
\[a)~(z-2i)(2z+1-i)=0\] \[b)~4z^2=z\] \[c)~z-\frac 4z=0\] \[d)~(2-i)z=2z+i\]
Exercices 3:

équation avec des fractions et des nombres complexes


Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes et donner les solutions sous forme algébrique:
\[a)~\frac{z-i}{z+i}=2i\] \[b)~\frac {z+i}{2z}=1-i\] \[c)~\frac {2z+i}{iz}=\frac{2iz}{1-z}\]
Corrigé en vidéo! Exercices 4: Résoudre une

équation du second degré avec des nombres complexes


Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes:
\[a)~z^2=4z+5\] \[b)~z^2=4z\] \[c)~20z-25=4z^2\] \[d)~4z^2+12z=-10\] \[e)~z^2+2\cos \frac {\pi}{12} z+1=0\]
Corrigé en vidéo! Exercices 5: Résoudre des équations du second degré, avec des fractions et des nombres complexes
Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes:
\[a)~i(z+3)=2+i\] \[b)~\frac{z-5}{z+5}=z\] \[c)~\frac{z+3}{z}=\frac{z+1}{z+2}\] \[d)~z^2=-9\]
Corrigé en vidéo! Exercices 6: Résoudre des

équations avec le conjugué

- poser z=x+iy
Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes. On pourra poser $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont réels.
\[a)~\overline {z}+i=2z-1\] \[b)~\frac {z+1}{\overline z}=z\]
Corrigé en vidéo! Exercices 7: déterminer a,b, et c tels que P(z)=(z+1)(az²+bz+c)
On souhaite résoudre l'équation $z^3+3z^2+11z+9=0$.
1) Vérifier que -1 est solution de cette équation.
2) Déterminer $a$, $b$, $c$ tels que pour tout $z$, $z^3+3z^2+11z+9=(z+1)(az^2+bz+c)$.
3) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $z^3+3z^2+11z+9=0$.
4) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^3+3z^2+11z+9=0$.
Exercices 8:

Équation du second degré à coefficients complexes


On considère l'équation $z^2-(1+3i)z+4+4i=0$   (1)
1) Montrer que l'équation (1) admet une solution imaginaire pure $z_1$.
2) Déterminer le nombre complexe $z_2$ tel que pour tout $z$:
    $z^2-(1+3i)z+4+4i=(z-z_1)(z-z_2)$.
3) En déduire les solutions de l'équation (1) dans $\mathbb{C}$.
Exercices 9:

Problème ouvert


Résoudre dans $\mathbb{C}$, l'équation $z^2=-i$.

Corrigé en vidéo! Exercices 10:

QCM nombre complexe et équation


Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifier.
a) L'équation $z^2+5z+2=0$ a deux solutions dans $\mathbb{C}$.
b) \[\cos \frac {2\pi}3 +i\sin \frac {2\pi}3\] est solution de l'équation $z^2+z+1=0$.
c) $2-3i$ et $-2+3i$ sont solutions de l'équation $z^2-4z+3=0$.
d) L'inverse de $3-4i$ est \[\frac 35 +\frac 45i\].

Exercices: nombres complexes et équation : Imprimer



Ce site vous a été utile? Ce site vous a été utile
alors dites-le !


Merci à vous.
Contact

N'hesitez pas à envoyer un mail à:
jaicompris.com@gmail.com

Liens
Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES et STI depuis 21 ans
Créateur de jeux de stratégie: Agora et Chifoumi

Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 12 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie