Théorème de Moivre-Laplace - Comprendre et savoir l'utiliser en exercice

Approximation d'une loi binomiale par une loi normale

♦ Cours en vidéo: Théorème de Moivre-Laplace

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$ et Y suit la loi normale $\mathcal{N}(0;1)$ alors
\[\lim\limits_{\substack{n \rightarrow +\infty }} {\rm P}\left(a\leqslant {\rm \frac{X-E(X)}{\sigma(X)}}\leqslant b\right)={\rm P}(a\leqslant {\rm Y}\leqslant b)\]

E(X) désigne l'espérance de X et ${\rm E(X)}=$

${\rm E(X)}=np$

$\rm \sigma(X)$ désigne l'écart-type de X et ${\rm \sigma(X)}=$

${\rm \sigma(X)}=\sqrt{np(1-p)}$

$a\leqslant b$

Donc sous réserve que

$n\geqslant 30$ et $np\geqslant 5$ et $n(1-p)\geqslant 5$

on peut approximer \[ {\rm P}\left(a\leqslant {\rm \frac{X-E(X)}{\sigma(X)}}\leqslant b\right)\] par

\[{\rm P}(a\leqslant {\rm Y}\leqslant b)\]
Autrement dit :
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$ et Z suit la loi normale $\rm \mathcal{N}(E(X);\sigma(X)^2)$

E(X) désigne l'espérance de X et ${\rm E(X)}=$

${\rm E(X)}=np$

$\rm \sigma(X)$ désigne l'écart-type de X et ${\rm \sigma(X)}=$

${\rm \sigma(X)}=\sqrt{np(1-p)}$

$a\leqslant b$

alors sous réserve que

$n\geqslant 30$ et $np\geqslant 5$ et $n(1-p)\geqslant 5$

on peut approximer \[ {\rm P}\left(a\leqslant {\rm X}\leqslant b\right)\] par

\[{\rm P}(a\leqslant {\rm Z}\leqslant b)\]

Corrigé

Exercices 1: Application simple du

Théorème de Moivre-Lapace

Dans un jeu de 32 cartes, on tire au hasard une carte puis on la remet et recommence cela 200 fois.
On note X la variable aléatoire indiquant le nombre d'as obtenus.
En utilisant l'approximation de la loi binomiale par la loi normale, déterminer à $10^{-2}$ près $\rm P(X\ge 28)$.

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Exercices 2:

Théorème de Moivre-Lapace

pour approximer une loi binomiale par une loi normale

Gaspard prend le bus 600 fois par an. Il veut savoir s'il est intéressant de ne jamais acheter de ticket.
Un ticket coûte $1,1$€ et une amende $30$€. A chaque voyage, la probabilité d'être contrôlé est de $0,05$.
On note C la variable aléatoire égale au nombre de contrôle sur une année.
1) Justifier que C suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2) Justifier que cette loi binomiale peut être approchée par une loi normale dont vous préciserez
les paramètres.
3) A l'aide de l'approximation de la question 2), répondre à la question que se pose Gaspard.

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Exercices 3:

Théorème de Moivre-Lapace

- approximation d'une loi binomiale par une loi normale

Un avion peut embarquer 300 passagers. Lors de l'embarquement, la probabilité qu'un passager ayant réservé ne se présente pas est de $0,1$. On note $n$ le nombre de réservations proposées par la compagnie et $\rm X$ la variable aléatoire indiquant le nombre de passagers ayant réservés et se présentant à l'embarquement.
Les comportements des passagers sont indépendants les uns des autres.
1) Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2) Justifier que cette loi binomiale peut être approchée par une loi normale dont vous préciserez les
     paramètres.
3) Si la compagnie accepte 330 réservations, quelle est la probabilité, à $10^{-1}$ près, que tous les passagers
     ne puissent embarquer?
4) La compagnie souhaite limiter à $2,5\%$ le risque de ne pas pouvoir embarquer tous les passagers ayant
     réservés. Déterminer, à l'aide d'une approximation par une loi normale, le nombre maximum $n$ de
     places qu'elle peut proposer à la réservation.

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Exercices 4:

Théorème de Moivre-Lapace

- approximation d'une loi binomiale par une loi normale centrée réduite

On lance 300 fois un dé tétraèdrique non truqué. On note X la variable aléatoire indiquant le nombre de 4 obtenus.
1) Justifier que X suit une loi binomiale dont précisera les paramètres.
2) Justifier que cette loi binomiale peut être approchée par une loi normale centrée réduite.
3) A l'aide d'une approximation par une loi normale centrée réduite, déterminer au centième $\rm P(X \le 70)$.