Loi uniforme - densité

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Terminale S

Définition de la loi uniforme

♦ Cours en vidéo: comprendre la définition de la loi uniforme et savoir l'utiliser

Dire que X suit une loi uniforme sur [a;b]

signifie que sa densité de probabilité est constante sur [a;b].

sans oublier que $a\lt b$.
Dans ce cas, sa densité $f$ vaut

\[f(x)=\frac 1{b-a}\]
Quand utiliser une loi uniforme

Quand on choisit un nombre au hasard entre $a$ et $b$.

Au hasard, ici signifie qu'on ne privilégie aucun nombre.
On dit que c'est uniformément réparti.
D'où le nom de loi uniforme.

Par exemple, Julie doit arriver entre 13h et 15h.
Cela, revient à choisir un nombre au hasard entre 13 et 15.
On modélise cette situation par la loi uniforme sur [13;15] de densité constante $\frac 12$.

Propriétés de la loi uniforme

♦ Cours en vidéo: comprendre les propriétés de la loi uniforme et savoir les utiliser

Si X suit une loi uniforme sur [a;b] alors:
La probabilité de ${\rm P(}c\le {\rm X}\le d)$ vaut

\[{\rm P(}c\le {\rm X}\le d)=\frac {d-c}{b-a}=\frac{\text{Longueur de l'intervalle }[c;d]}{\text{Longueur de l'intervalle }[a;b]}\]

sans oublier que $c\lt d$.

Espérance de la loi uniforme

♦ Cours en vidéo: comprendre la formule de l'espérance d'une loi uniforme

Si X suit une loi uniforme sur [a;b] alors:
Son espérance E(X) vaut

\[{\rm E(X)=}\frac {a+b}2\]

L'espérance est la moyenne de $a$ et $b$.

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Exercices 1:

Loi uniforme et problème de rendez-vous

Anissa doit retrouver Manon au café entre 19 h et 20 h.
1) Quelle est la probabilité qu'Anissa arrive à 19 h 15?
2) Quelle est la probabilité qu'Anissa arrive avant 19 h 20?
3) Quelle est la probabilité qu'Anissa arrive entre 19 h 25 et 19 h 35?

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Exercices 2: Loi uniforme - rendez-vous - espérance

Chaque jour, la mère de Rose arrive à la maison à 12 h et repart à 12 h 30.
Rose arrive aléatoirement entre 11 h 45 et 13 h 15 et reste 5 min avant de repartir.

Quelle est la probabilité qu'elles se croisent?
Rose n'est pas arrivée à la maison à 12 h 15. Quelle est la probabilité qu'elles se croisent?
En moyenne, sur un grand nombre de journée, à quelle heure Rose arrive-t-elle?

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Exercices 3: Loi uniforme - Bac S Centre étranger 2018

La masse en gramme des melons d'un maraîcher est modélisée par une variable aléatoire $\rm M$ qui suit une loi uniforme sur l'intervalle $[850;x]$ avec $x> 1200$. On constate que $75\%$ des melons du maraîcher ont une masse comprise entre $900~\textbf{g}$ et $1200~\textbf{g}$. Déterminer $x$.

Exercices 4: Loi uniforme et évènements indépendants

Matthias et Alban ont rendez-vous à la gare entre 18 h et 19 h.
Ils arrivent indépendamment et au hasard entre 18h et 19h.
Quelle est la probabilité que tous les deux arrivent entre 18 h 35 et 18 h 45?

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Exercices 5: Loi uniforme et évènements indépendants

On choisit un nombre au hasard entre -2 et 2.
Sachant que ce nombre est supérieur à $1,8$, quelle est la probabilité que sa deuxième décimale soit 5?

Exercices 6: Loi uniforme et nombre aléatoire

On tire au hasard un nombre entre -1 et 3.
Quelle est la probabilité qu'il soit solution de l'inéquation $x^2-4\le 0$?

Exercices 7: Problème ouvert - loi uniforme

Antoine et Lætitia ont rendez-vous à la gare entre 17 h et 18 h.
Chacun attendra un quart d'heure, pas plus puis partira et en aucun cas après 18 h.
Ils arrivent indépendamment et aléatoirement entre 17 h et 18 h.
Quelle est la probabilité qu'ils se retrouvent?