Loi normale centrée réduite

On appelle fonction de Laplace-Gauss la fonction $\varphi$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\varphi(x)=\frac 1{\sqrt {2\pi}}e^{-\frac{x^2}2}$.
1) Démontrer que la fonction $\varphi$ est paire. Interpréter.
2) Étudier les variations de la fonction $\varphi$ sur $\mathbb{R}$.
3) Déterminer $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \varphi(x)$. Interpréter.

Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite.
On a tracé la courbe de Gauss.
Déterminer graphiquement un encadrement $\rm P(-0,3\leqslant X\leqslant 0,5)$.
Vérifier la cohérence de ce résultat à l'aide d'une calculatrice.

Z est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0;1)$.
On donne $\rm P(Z \leqslant 1,2)\approx 0,885$ à $10^{-3}$ près.
Déterminer sans calculatrice, à $10^{-3}$ près, $\rm P(Z\geqslant -1,2)$ puis $\rm P(-1,2\leqslant Z\leqslant 1,2)$.

Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite.
On sait que ${\rm P(X}<0,2)\approx 0,58$ et ${\rm P(X}\leqslant -0,3)\approx 0,38$.
A l'aide de ces informations et sans calculatrice, déterminer une valeur approchée de:
${\rm P(X}\geqslant -0,2)$ ${\rm P}(-0,2\leqslant {\rm X}\leqslant 0,3)$ ${\rm P}( {\rm X}\leqslant -0,3 \cup {\rm X}\geqslant 0,2)$

X est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.
Déterminer à l'aide d'une calculatrice, avec trois décimales, $\rm P(X <-0,6)$ puis $\rm P(-1,2\le X \le 0,4)$.

X est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.
A l'aide d'une calculatrice, déterminer à $10^{-2}$ près, $\alpha$ tel que $\rm P(X\le \alpha)=0,9$.

On a tracé la courbe de Gauss.
L'aire du domaine coloré en marron vaut $0,2$.
Déterminer $x$ à $10^{-3}$ près.

X est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite et $t$ un réel positif.
1) Démontrer que si la probabilité ${\rm P}(-t \leqslant {\rm X} \leqslant t)=0,7 $ alors ${\rm P}({\rm X} \leqslant t)=0,85$.
2) A l'aide d'une calculatrice, en déduire la valeur de $t$ à $10^{-2}$ près.

Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite.
Déterminer l'espérance de X, notée E(X).

Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite. On note $\varphi$ la densité associée.
L'objectif de cet exercice est de montrer que:
Pour tout réel $\alpha\in ]0;1[$, il existe un unique réel positif $u_{\alpha}$, tel que $ {\rm P}(-u_{\alpha}\leqslant {\rm X}\leqslant u_{\alpha})=1-\alpha$
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(t)= {\rm P}(-t\leqslant {\rm X}\leqslant t)$.
1) Justifier que $1-\alpha$ appartient à ]0;1[.
2) Justifier que pour tout $t\geqslant 0$, $f(t)=2\int_{0}^t \varphi (x)~{\rm d}x$.
3) Étudier les variations de $f$ sur $[0;+\infty[$ puis conclure.

Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite et $\alpha\in ]0;1[$
L'objectif de cet exercice est de savoir déterminer le réel positif $u_\alpha$ tel que $ {\rm P}(-u_{\alpha}\leqslant {\rm X}\leqslant u_{\alpha})=1-\alpha$.
1) Démontrer que $u_{\alpha}$ vérifie \[{\rm P}({\rm X}\leqslant u_{\alpha})=1-\frac{\alpha}{2}\].
2) En déduire $u_{0,05}$ et $u_{0,01}$.

La température T, en degré Celsius, à 6h du matin à La Rochelle, suit en janvier la loi normale centrée réduite.
1) Quelle est l'espérance de T? Interpéter.
2) Est-il vrai que dans 99$\%$ des cas, la température à 6h du matin est comprise entre -2° et 2° ?
3) Dans quel intervalle centré en 0, se situe 60$\%$ des températures à 6h du matin?
4) Quelle est la probabilité à $10^{-1}$ près d'avoir en janvier une température à 6h du matin supérieure à 4°?