Correction exercice loi exponentielle

Pour résoudre cet exercice, vous devez savoir que:

Dans l'énoncé, on nous dit que:
la probabilité que l'appareil tombe en panne avant la fin de la première année est $0,2$.
Ce qui signifie mathématiquement que : \[{\rm P}({\rm X}< 1)=0,2\]
Et \[{\rm P}({\rm X}< 1)=0,2\Leftrightarrow {\rm P}({\rm X}\leqslant 1)=0,2\]

car dans le cas continu, \[{\rm P}({\rm X}< a)= {\rm P}({\rm X}\leqslant a)\]

De plus, \[{\rm P}({\rm X}\leqslant 1)={\rm P}(0\leqslant {\rm X}\leqslant 1)\] car X ne prend que des valeurs positives. Donc
\[{\rm P}({\rm X}< 1)=0,2\Leftrightarrow {\rm P}(0\leqslant {\rm X}\leqslant 1)=0,2\Leftrightarrow e^{-\lambda\times 0}-e^{-\lambda \times 1}=0,2\]

D'après le rappel

\[\Leftrightarrow e^0-e^{-\lambda}=0,2\Leftrightarrow 1-e^{-\lambda}=0,2\]

car $e^0=1$

\[\Leftrightarrow e^{-\lambda}=0,8\]

Quand on a une équation du type $e^A=B$, penser à prendre le logarithme des deux cotés

\[\Leftrightarrow \ln(e^{-\lambda})=\ln (0,8)\]
\[\Leftrightarrow -\lambda=\ln (0,8)\]

car $\ln (e^{\rm A})={\rm A}$

\[\Leftrightarrow \lambda=-\ln (0,8)\]
Donc $\lambda\approx 0,22$

Pour résoudre cet exercice, vous devez savoir que:

Dans l'énoncé, on nous dit que:
La durée de vie moyenne de l'appareil avant la première panne est de deux ans

La durée de vie moyenne correspond à l'espérance

Ce qui signifie mathématiquement que : \[{\rm E(X)}=2\]
Or \[{\rm E(X)}=\frac 1 {\lambda}\] d'après le rappel.
Donc \[\frac 1{\lambda}=2\]. On en déduit donc que \[\lambda=\frac 12\]