Intervalle de confiance - définition et utilisation en exercice

Cours

♦ Cours en vidéo: Intervalle de confiance

Soit $p$ la proportion d'un caractère dans une population

Par exemple:
- La proportion de gauchers dans la population française.
- La proportion de personnes votant pour un candidat.
Soit $f$ la fréquence du caractère dans un échantillon

La fréquence $f=\frac {\textbf{nombre d'individus ayant ce caractère dans l'échantillon}}{\textbf{taille de l'échantillon}}$
Quand utiliser un intervalle de confiance

On utilise un intervalle de confiance pour estimer $p$.

Par exemple, on veut estimer la proportion $p$ de gauchers dans toute la population.
Pour cela, on choisit un échantillon de taille $n$.
On détermine la fréquence $f$ de gauchers dans cet échantillon.
Puis on détermine un intervalle de confiance, à l'aide de $f$ et $n$.
Intervalle de confiance

L'intervalle \[{\rm I}_c=\left[f-\frac{1}{\sqrt n}; f+\frac{1}{\sqrt n}\right]\]
est appelé intervalle de confiance au niveau de confiance de 95%.

$f$ est la fréquence du caractère étudié dans l'échantillon.
$n$ est la taille de l'échantillon.
Conditions d'utilisation

Pour pouvoir utiliser un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95% ,
on vérifie que les 3 conditions suivantes sont remplies:
$n\geqslant 30$ et $nf\geqslant 5$ et $n(1-f)\geqslant 5$

$f$ est la fréquence du caractère étudié dans l'échantillon.
$n$ est la taille de l'échantillon.
Comment arrondir les bornes avec un intervalle de confiance

On arrondit toujours:
la borne inférieure par défaut
la borne supérieure par excès

Pourquoi?
car l'intervalle de confiance, contient $p$ dans 95% des cas au moins.
Si on réduit l'intervalle, on ne peut plus garantir que
$p$ soit dans l'intervalle dans 95% des cas.

si $f=0.3$ et $n=50$ en arrondissant à 0.01 près:
\[{\rm I}_c=\left[f-\frac{1}{\sqrt n}; f+\frac{1}{\sqrt n}\right]\approx [0,15;0,45]\]
Interpréter un intervalle de confiance

Dans 95 cas sur 100,
$p$ appartient à l'intervalle de confiance \[{\rm I}_c=\left[f-\frac{1}{\sqrt n}; f+\frac{1}{\sqrt n}\right]\].
ce qui permet d'avoir un encadrement de $p$ avec un niveau de confiance de 0,95.

sous réserve que les 3 conditions d'utilisation sont remplies.
Erreur d'interprétation

Il n'y a pas de raison que $p$ soit plus près du centre de l'intervalle que près des extrémités.

ou de tout autre endroit de l'intervalle.

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Exercices 1:

Intervalle de confiance et sondage

Lors d'un sondage portant sur 100 personnes, 52 personnes indiquent qu'elles voteront pour Lotfi.
1) Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95% de la proportion de personnes
qui voteront pour Lotfi.
2) Que peut-on conclure?
3) En supposant que la fréquence des personnes indiquant voter pour Lotfi reste identique, quelle taille
minimale aurait dû avoir l'échantillon pour pouvoir conclure à la victoire de Lotfi?

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Exercices 2:

Mesurer l'efficacité d'un médicament à l'aide d'un intervalle de confiance

On souhaite mesurer l'effet d'un médicament sur la migraine. Pour cela, on constitue 2 groupes, chacun de 100 personnes. Un groupe A reçoit le médicament et un groupe B un placebo, c'est à dire un comprimé sans aucun principe actif. Dans le groupe A, 68 personnes ont vu leur migraine diminuer et dans le groupe B, 56.
1) A l'aide d'intervalle de confiance au seuil de 95%, que peut-on conclure quant à l'efficacité du
médicament?
2) Quelle taille aurait dû avoir chacun des 2 groupes, pour pouvoir conclure à l'efficacité du médicament,
avec des fréquences identiques?

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Exercices 3:

Estimer le nombre de poissons dans un lac à l'aide d'un intervalle de confiance

On souhaite estimer le nombre de poissons d'un lac. Pour cela, on capture 200 poissons que l'on marque et que l'on relâche. Quelques jours plus tard, on capture 500 poissons, l'un après l'autre que l'on relâche immédiatement. Parmi les 500 poissons pêchés, 220 étaient marqués. Déterminer un encadrement du nombre total de poissons dans le lac avec un niveau de confiance de 95%.

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Exercices 4:

Technique originale pour faire un sondage avec un dé pour obtenir des réponses sincères

Pour estimer la proportion $p$ de jeunes qui téléchargent illégalement au moins une fois par semaine sur Internet, on interroge par téléphone ${1500}$ jeunes. Pour répondre à la question "Téléchargez-vous illégalement au moins une fois par semaine sur Internet ?", la personne commence par lancer secrètement un dé bien équilibré à 6 faces. Si le résultat est pair, elle répond sincèrement à la question. Si le résultat est 1, elle répond oui et sinon elle répond non.

On choisit aléatoirement un jeune. On note $\mathrm{R}$ l'événement "le résultat du lancer est pair" et $\mathrm{O}$ l'événement "le jeune a répondu oui". Représenter la situation à l'aide d'un arbre probabiliste et en déduire que la probabilité $q$ de l'événement $\mathrm{O}$ vaut $\dfrac{1}{2}p + \dfrac{1}{6}$.
Sachant que l'enquête a recueilli $625$ oui, donner un intervalle de confiance au niveau $95\%$ de la probabilité $q$ et en déduire une estimation de $p$.

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Exercices 5:

Probabilité - révision - Bac S maths 2019 Centres étrnagers - Pondichéry

Les quatre questions suivantes sont relatives à une station de ski.

Une étude a établi qu'un client sur quatre pratique le surf. Dans une télécabine accueillant $80$ clients de la station, déterminer la probabilité arrondie au millième qu'il y ait exactement $20$ clients pratiquant le surf.
L'épaisseur maximale d'une avalanche, exprimée en centimètre, peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale de moyenne $\mu= 150$ cm et d'écart-type inconnu.
On sait que $P(X\geqslant 200)= 0,025$ . Quelle est la probabilité $P( X\geqslant 100)$ ?
Dans un couloir neigeux, on modélise l'intervalle de temps séparant deux avalanches successives, appelé temps d'occurrence d'une avalanche, exprimé en année, par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle. On a établi qu'une avalanche se déclenche en moyenne tous les 5 ans. Ainsi $E(T)= 5$ .
Déterminer la probabilité $P( T\geqslant 5)$.
L'office de tourisme souhaite effectuer un sondage pour estimer la proportion de clients satisfaits des prestations offertes dans la station de ski. Pour cela, il utilise un intervalle de confiance de longueur $0,04$ avec un niveau de confiance de $0,95$. Déterminer le nombre de clients à interroger.