Correction : Déterminer une probabilité avec une loi binomiale et en utilisant l'approximation par une loi normale
Pour résoudre cet exercice, vous devez savoir que:
Si une variable aléatoire X suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$ alors
\[{\rm P}(a\le {\rm X}\le b)\approx {\rm P}(a\le {\rm Y}\le b)\]
où Y suit une loi normale
d'espérance $\mu=n\cdot p$
d'écart-type $\sigma=\sqrt{n\cdot p(1-p)}$.
Autrement dit, on approxime
une loi binomiale par une loi normale.
Pour que l'approximation soit bonne,
il faut vérifier les 3 conditions suivantes:
$n\ge 30$ et $np\ge 5$ et $n(1-p)\ge 5$.
Dans cet exercice, on répète 200 fois de manière indépendante la même expérience aléatoire à 2 issues
Il y a bien 2 issues:
soit on obtient un as,
soit on n'obtient pas un as.
Donc X qui compte le nombre de succès (obtenir un as), suit la loi binomiale $\mathcal{B}(200;\frac 1 8)$
Le premier paramètre correspond aux nombres de répetitions
Le deuxième paramètre correspond à la probabilité d'un succès (obtenir un as) $\frac 4 {32}=\frac 18$
Vérifions que les 3 conditions sont remplies, avant d'approximer la loi binomiale par la loi normale.
$n=200$ donc $n\ge 30$, $p=\frac 18$ donc $np=25\ge 5$ et $n(1-p)=175$ donc $n(1-p)\ge 5$.
Les 3 conditions étant remplies, on peut donc approximer $\mathcal{B}(200;\frac 1 8)$
par la loi normale d'espérance $\mu=np=25$ et d'écart-type $\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt \frac {175}8$.
Posons Y la variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $\mu=25$ et d'écart-type $\sigma=\sqrt \frac {175}8$.
D'après le théorème de Moivre-Laplace,
\[{\rm P}({\rm X}\ge 28)\approx {\rm P}({\rm Y}\ge 28)\].
Puis on calcule
\[{\rm P}({\rm Y}\ge 28)\] avec sa calculatrice, et on trouve:
\[{\rm P}({\rm Y}\ge 28)\approx 0.26\] à $10^{-2}$ près.
Avec une TI (texas-instrument) :
2nd distr puis normalCdf
lower=28 upper: 10000000 $\mu=25$ $\sigma=\sqrt \frac{175}8$.
Avec une Casio
Menu Stat + Dist + Norm + nCd
lower=28 upper: 10000000 $\mu=25$ $\sigma=\sqrt \frac{175}8$.
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