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Terminale S

Intervalle de confiance


Cours

Cours en vidéo: Intervalle de confiance Cours de math en vidéo
  • Soit $p$ la proportion d'un caractère dans une population
    Par exemple:
    - La proportion de gauchers dans la population française.
    - La proportion de personnes votant pour un candidat.

  • Soit $f$ la fréquence du caractère dans un échantillon
    La fréquence $f=\frac {\textbf{nombre d'individus ayant ce caractère dans l'échantillon}}{\textbf{taille de l'échantillon}}$

  • Quand utiliser un intervalle de confiance
    On utilise un intervalle de confiance pour estimer $p$.
    Par exemple, on veut estimer la proportion $p$ de gauchers dans toute la population.
    Pour cela, on choisit un échantillon de taille $n$.
    On détermine la fréquence $f$ de gauchers dans cet échantillon.
    Puis on détermine un intervalle de confiance, à l'aide de $f$ et $n$.

  • Intervalle de confiance
    L'intervalle \[{\rm I}_c=\left[f-\frac{1}{\sqrt n}; f+\frac{1}{\sqrt n}\right]\]
    est appelé intervalle de confiance au niveau de confiance de 95%.
    $f$ est la fréquence du caractère étudié dans l'échantillon.
    $n$ est la taille de l'échantillon.

  • Conditions d'utilisation
    Pour pouvoir utiliser un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95% ,
    on vérifie que les 3 conditions suivantes sont remplies:
    $n\geqslant 30$ et $nf\geqslant 5$ et $n(1-f)\geqslant 5$
    $f$ est la fréquence du caractère étudié dans l'échantillon.
    $n$ est la taille de l'échantillon.

  • Comment arrondir les bornes avec un intervalle de confiance
    On arrondit toujours:
    la borne inférieure par défaut
    la borne supérieure par excès
    Pourquoi?
    car l'intervalle de confiance, contient $p$ dans 95% des cas au moins.
    Si on réduit l'intervalle, on ne peut plus garantir que
    $p$ soit dans l'intervalle dans 95% des cas.



    si $f=0.3$ et $n=50$ en arrondissant à 0.01 près:
    \[{\rm I}_c=\left[f-\frac{1}{\sqrt n}; f+\frac{1}{\sqrt n}\right]\approx [0,15;0,45]\]
  • Interpréter un intervalle de confiance
    Dans 95 cas sur 100,
    $p$ appartient à l'intervalle de confiance \[{\rm I}_c=\left[f-\frac{1}{\sqrt n}; f+\frac{1}{\sqrt n}\right]\].
    ce qui permet d'avoir un encadrement de $p$ avec un niveau de confiance de 0,95.
    sous réserve que les 3 conditions d'utilisation sont remplies.

  • Erreur d'interprétation
    Il n'y a pas de raison que $p$ soit plus près du centre de l'intervalle que près des extrémités.
    ou de tout autre endroit de l'intervalle.




Corrigé en vidéo
Exercices 1:

Intervalle de confiance et sondage


Lors d'un sondage portant sur 100 personnes, 52 personnes indiquent qu'elles voteront pour Lotfi.
1) Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95% de la proportion de personnes
     qui voteront pour Lotfi.
2) Que peut-on conclure?
3) En supposant que la fréquence des personnes indiquant voter pour Lotfi reste identique, quelle taille
     minimale aurait dû avoir l'échantillon pour pouvoir conclure à la victoire de Lotfi?
Corrigé en vidéo
Exercices 2:

Mesurer l'efficacité d'un médicament à l'aide d'un intervalle de confiance


On souhaite mesurer l'effet d'un médicament sur la migraine. Pour cela, on constitue 2 groupes, chacun de 100 personnes. Un groupe A reçoit le médicament et un groupe B un placebo, c'est à dire un comprimé sans aucun principe actif. Dans le groupe A, 68 personnes ont vu leur migraine diminuer et dans le groupe B, 56.
1) A l'aide d'intervalle de confiance au seuil de 95%, que peut-on conclure quant à l'efficacité du
    médicament?
2) Quelle taille aurait dû avoir chacun des 2 groupes, pour pouvoir conclure à l'efficacité du médicament,
     avec des fréquences identiques?
Corrigé en vidéo
Exercices 3:

Estimer le nombre de poissons dans un lac à l'aide d'un intervalle de confiance


On souhaite estimer le nombre de poissons d'un lac. Pour cela, on capture 200 poissons que l'on marque et que l'on relâche. Quelques jours plus tard, on capture 500 poissons, l'un après l'autre que l'on relâche immédiatement. Parmi les 500 poissons pêchés, 220 étaient marqués. Déterminer un encadrement du nombre total de poissons dans le lac avec un niveau de confiance de 95%.

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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
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Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 12 ans
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