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Terminale S

Matrice - définition et calculs


Matrice définition

Matrice cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • Qu'est-ce qu'une matrice 
    Une matrice est un tableau de nombres.
    Il n'y a pas de séparation verticale ou horizontale, contrairement aux tableaux.
    Les nombres qui composent la matrice s'appellent les coefficients.

    Exemple:
    $\begin{pmatrix} 2&3\\ 4&-1\\-3&-5 \end{pmatrix}$
    Dans cet exemple,
    il s'agit d'une matrice ayant 3 lignes et 2 colonnes.
    On dit que la taille de cette matrice est $3\times 2$.
    Pour la taille,
    le premier nombre indique toujours le nombre de lignes
    le deuxième nombre indique le nombre de colonnes.
    Les matrices généralisent
    la notion de vecteur avec ses coordonnées.

  • Dimension ou taille d'une matrice
    Si la matrice a $m$ lignes et $n$ colonnes
    On dit que la matrice est de taille ou dimension $m\times n$.
    On donne toujours la taille
    dans l'ordre
    ligne puis colonne
    Voici une matrice de taille $2\times 3$
    $\begin{pmatrix} 2&-3&5\\ 4&0&-1 \end{pmatrix}$
    2 lignes et 3 colonnes


  • Coefficient $a_{ij}$
    Le coefficient $a_{2,4}$ désigne le nombre
    situé à la 2ième ligne et 4ième colonne.

    On indique toujours la ligne puis la colonne et pas l'inverse!
    Dans cette matrice
    $\begin{pmatrix} 2&-3&5\\ 4&0&-1 \end{pmatrix}$
    $a_{1,2}=-3$
    $a_{1,2}$ désigne le nombre situé
    sur la 1ère ligne, 2ième colonne


    $a_{2,3}=-1$
    $a_{2,3}$ désigne le nombre situé
    sur la 2ième ligne, 3ième colonne


  • Égalité de deux matrices
    Dire que deux matrices sont égales
    signifie
    qu'elles ont le même nombre de lignes et de colonnes
    et les mêmes coefficients aux même emplacements
  • Matrice carrée
    Une matrice carrée est une matrice ayant le même nombre de lignes et de colonnes.
    Voici une matrice carrée
    $\begin{pmatrix} 2&-3&5\\ 4&0&-1\\-1&3&8 \end{pmatrix}$
    Quand une matrice est carrée,
    au lieu de dire que
    sa taille est $3\times 3$
    on peut dire que cette matrice est d'ordre 3.


  • Ordre d'une matrice
    Quand une matrice est carrée
    et a $n$ lignes et $n$ colonnes
    au lieu de dire que sa taille est $n\times n$
    on peut dire qu'elle est d'ordre $n$.
  • Matrice nulle $0_n$
    Une matrice nulle est une matrice où tous les coefficients sont nuls.
    $0_n$ désigne la matrice nulle ayant $n$ lignes et $n$ colonnes.
    Voici $0_3$
    $\begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{pmatrix}$

  • Matrice diagonale
    Une matrice diagonale est une matrice carrée
    tous les coefficients en dehors de la diagonale sont nuls.
    Voici une matrice diagonale d'ordre 3
    $\begin{pmatrix} 2&0&0\\0&0&0\\0&0&-5 \end{pmatrix}$
    Les coefficients sur la diagonale
    peuvent être nuls ou pas.


  • Matrice identité ${\rm I}_n$
    La matrice identité d'ordre $n$, notée ${\rm I}_n$
    désigne la matrice diagonale d'ordre $n$ où tous les coefficients de la diagonale valent 1.
    Voici $\rm I_3$
    $\rm I_3=\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix}$

  • Matrice ligne
    On appelle matrice ligne
    une matrice n'ayant qu'une seule ligne.
    Sa taille est donc de la forme $1\times n$
    Voici une matrice ligne
    $\begin{pmatrix} 1&-20&3 \end{pmatrix}$

  • Matrice colonne
    On appelle matrice colonne
    une matrice n'ayant qu'une seule colonne.
    Sa taille est donc de la forme $n\times 1$
    Voici une matrice colonne
    $\begin{pmatrix} 8\\16\\-1 \end{pmatrix}$





Additionner 2 matrices et produit par un réel


Additionner 2 matrices, multiplier une matrice par un nombre : cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • Condition pour additionner 2 matrices  
    On ne peut additionner 2 matrices que si elles ont la même taille,
    même nombre de ligne et de colonne.

    $\begin{pmatrix} 8& 2\\16& 1\\-1& 0 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} -5&7& 1\\3&2& 1\\5&3& 2 \end{pmatrix}$
    Ces 2 matrices ne peuvent pas être additionnées,
    car elles n'ont pas la même taille,
    car pas le même nombre de colonnes!


    $\begin{pmatrix} 8& 2\\16& 1\\-1& 0 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} -5&7\\3&2\\5&2 \end{pmatrix}$
    Ces 2 matrices peuvent être additionnées,
    car elles ont la même taille,
    même nombre de lignes et de colonnes!

  • Comment additionner 2 matrices  
    Pour additionner 2 matrices,
    on additionne les coefficients situés à la même place.
    La somme des matrices A et B est notée $\rm A+B$.

    $\rm A=\begin{pmatrix} 8& 2\\16& 1\\-1& 0 \end{pmatrix}$ et  $\rm B=\begin{pmatrix} -5&7\\3&2\\5&2 \end{pmatrix}$ alors $\rm A+B=\begin{pmatrix} 8+(-5)& 2+7\\16+3& 1+2\\-1+5& 0+2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3& 9\\19& 3\\4& 2 \end{pmatrix}$
    Si vous vous souvenez des vecteurs,
    l'addition des matrices
    suit le même principe que celui qu'on utilise
    pour additionner 2 vecteurs avec leurs coordonnées!

  • Multiplier une matrice par un nombre $k$  
    On multiplie tous les coefficients par $k$.
    Quand on multiplie la matrice A par 3, cela se note 3A.
    $\rm A=\begin{pmatrix} 8& 2\\16& 1\\-1& 0 \end{pmatrix}$ alors $\rm 3A=\begin{pmatrix} 3\times 8& 3\times 2\\3\times 16& 3\times 1\\3\times (-1)& 3\times 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 24& 6\\48& 3\\-3& 0 \end{pmatrix}$
    Si vous vous souvenez des vecteurs,
    le produit d'une matrice par un nombre
    suit le même principe que celui qu'on utilise
    pour multiplier un vecteur avec ses coordonnées par un nombre.

  • Matrice -A  
    La matrice -A désigne la matrice où tous les coefficients ont été multipliés par -1.
    La matrice -A est appelée matrice opposée à A
    Car A+(-A) est une matrice nulle.

    $\rm A=\begin{pmatrix} 8& 2\\16& 1\\-1& 0 \end{pmatrix}$ alors $\rm -A=\begin{pmatrix} -8& -2\\-16& -1\\1& 0 \end{pmatrix}$
    Et on a $\rm A+(-A)=\begin{pmatrix}0& 0\\0& 0\\0& 0 \end{pmatrix}$
    A+(-B) se note A-B

  • Propriétés  
    A+B=B+A
    On dit que l'addition des matrices est commutative.
    On verra que ce n'est pas le cas pour le produit des matrices.


    (A+B)+C=A+(B+C)
    On dit que l'addition des matrices est associative.
    Dans cette somme,
    les parenthèses sont donc inutiles
    et on peut écrire A+B+C sans parenthèse!


    $\lambda \rm(A+B)=\lambda A+\lambda B$
    $(\lambda +\lambda^\prime){\rm A}=\lambda {\rm A}+\lambda^\prime {\rm A}$
    $\lambda (\lambda^\prime {\rm A})=(\lambda\cdot \lambda^\prime){\rm A}$
    A, B et C sont des matrices de même taille.
    $\lambda$ et $\lambda^\prime$ sont des réels.

  • Avec les matrices, on n'écrit pas  
    $\rm \frac A3$ mais $\rm\frac 13 A$
    Car on n'a pas défini la division d'une matrice par un nombre!





Multiplier 2 matrices


Multiplier deux matrices : Cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • Multiplier une matrice ligne par une matrice colonne  
    Produit d'une matrice ligne par une matrice colonne
    $\begin{pmatrix} 2& 3& 1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 5\\ 4\\ 6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\times 5+3\times 4+1\times 6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 28\end{pmatrix}$

    Pour que le produit soit possible,
    il faut que la ligne et la colonne aient le même nombre d'éléments.
    Autrement dit
    il faut que le nombre de colonnes de la première matrice
    soit égal au nombre de lignes de la deuxième.




    Plus généralement
    $\begin{pmatrix} a_1& \ldots & a_p\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} b_1\\ \vdots \\ b_p\end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix} a_1b_1+a_2b_2+...+a_pb_p\end{pmatrix}}_{\text{Matrice de taille }1\times 1}$
    Quand on multiplie une matrice ligne
    par une matrice colonne ayant le même nombre d'éléments
    on obtient une matrice ayant 1 seul coefficient,
    c'est à dire de taille $1\times 1$.

  • Comment multiplier 2 matrices quelconques  
    Pour multiplier deux matrices A et B
    On multiplie chaque ligne de la première avec chaque colonne de la seconde.

    Quand on multiplie la 3ième ligne de A avec la 2ième colonne de B
    on obtient le coefficient situé à la 3ième ligne et 2ième colonne de $\rm A\times B$.

    Exemple:
    $\begin{pmatrix} \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot\\2&1&3\\\cdot & \cdot & \cdot\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} \cdot & 5\\ \cdot & 3\\ \cdot & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot\\ \cdot & 19 \\ \cdot & \cdot\end{pmatrix}$
    $19=2\times 5+1\times 3+3\times 2$

  • Condition pour multiplier 2 matrices  
    Pour que le produit de 2 matrices soit possible
    il faut que le nombre de colonnes de la première
    soit égal au nombre de lignes de la deuxième.
    $\begin{pmatrix} \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot\end{pmatrix}=$
    Ce produit n'est pas possible car
    le nombre de colonnes de la première matrice
    n'est pas égal au nombre de lignes de la seconde.

    La 1ère matrice a 3 colonnes,
    tandis que la 2ième a 2 lignes!



    $\begin{pmatrix} \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot\end{pmatrix}=$
    Ce produit est possible car
    le nombre de colonnes de la première matrice
    est égal au nombre de lignes de la seconde.

    On a alors
    $\begin{pmatrix} \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \end{pmatrix}$

  • Astuce  
    Pour multiplier 2 matrices A et B
    on pourra utiliser la disposition suivante:
    $\begin{pmatrix} \cdot & 5\\ \cdot & 3\\ \cdot & 2 \end{pmatrix}$
    Ici on écrit la matrice B

    $\begin{pmatrix} \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot\\2&1&3\\\cdot & \cdot & \cdot\end{pmatrix}$
    Ici on place la matrice A
        
    $\begin{pmatrix}\cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot\\ \cdot & 19 \\ \cdot & \cdot\end{pmatrix}$
    Ici on otient $\rm A\times B$

    $19=2\times 5+1\times 3+3\times 2$
  • Propriétés  
    $\rm A\times (B+C)=A\times B+A\times C$
    $\rm (B+C)\times A=B\times A+C\times A$
    $\rm A\times (B\times C)=(A\times B)\times C$
    Cette propriété indique que
    le produit matriciel est associatif.

    Quand on multiplie 3 matrices ou plus,
    les parenthèses sont donc inutiles.


    $ k\cdot {\rm(A\times B)}=(k\cdot {\rm A})\times {\rm B}={\rm A}\times(k\cdot \rm B)$
    ${\rm A}\times {\rm I}_n=\rm A$ et ${\rm I}_n\times {\rm A}=\rm A$

    Quand on multiplie par la matrice identité,
    ça ne change rien.
    D'où son nom!


    Ces propriétés s'entendent
    sous réserve que les produits soient possibles.
    ${\rm I}_n$ désigne la matrice identité d'ordre $n$.

Erreur à éviter Cours de math en vidéo
  • Erreurs classiques  
    $\rm A\times B$ en général n'est pas égal à $\rm B\times A$
    Le produit matriciel n'est pas commutatif.
    $\begin{pmatrix} 1&0\\1&3\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 2&1\\0&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2&1\\2&10\end{pmatrix}$
    $\begin{pmatrix} 2&1\\0&3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 1&0\\1&3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3&3\\3&9\end{pmatrix}$


    $\rm A\times B=0$ n'entraine pas en général $\rm A=0$ ou $\rm B=0$
    Si $\rm A=\begin{pmatrix} 1&0\\1&0\end{pmatrix}$ et $\rm B=\begin{pmatrix} 0&0\\0&1\end{pmatrix}$
    alors $\rm A\times B=\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}$
    Et pourtant ni A ni B ne sont des matrices nulles.


    $\rm A\times B=A\times C$ n'entraine pas en général $\rm B=C$
    On ne peut pas "diviser" par A,
    même si A n'est pas nulle.




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Exercices 1:

Matrices : addition et multiplication par un réel - Spé Maths


On considère les matrices $\rm A = \begin{pmatrix}2 & 1& 0 \\ 1 & -3 & 1 \end{pmatrix}$ et $\rm B$ = $\begin{pmatrix}-6 & 0& 4 \\ 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}$.
1) Calculer les matrices suivantes :
a) $A + B$ b) $ \frac{1}{3}A$ c) $A - B$ d) $-2A + 4B$
2) Existe-t-il deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\alpha A + \beta B = \begin{pmatrix}9 & 3& -2 \\ \frac{5}{2} & -11 & 2 \end{pmatrix}$
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Exercices 2:

Matrices : produit - Spé Maths


On considère les matrices $\rm A = \begin{pmatrix}3 & 0 & 2\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$, $\rm B = \begin{pmatrix}3 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix}4 & 2 \\ 0 & -1 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}$
1) Parmi les produits suivants $\rm A \times B$, $\rm B \times C$ et $\rm C \times B$, lesquels ont un sens ?
2) Calculer $\rm A \times C$ et $\rm B^2$.
3) Déterminer les coefficients manquants des matrices pour que l'égalité soit vraie. \[\begin{pmatrix}\,. & 1 \\\,. & 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2 & 3 \\ \,. & 5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-3 & \,. \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \]
Corrigé en vidéo
Exercices 3:

Matrice- Trouver les coefficients manquant dans un produit - Spé Maths


On considère les matrices :
$\rm A=\begin{pmatrix}\bullet & -5 & 2 \\-3 & 4 & 7 \\-1 & \bullet & 6 \end{pmatrix}$ , $\rm B=\begin{pmatrix}\bullet & 2 & -4 \\-5 & -2 & \bullet \\ 1 & \bullet & -5 \end{pmatrix}$ et $\rm C=\begin{pmatrix}\bullet & 10 & -3 \\-4 & 7 & \bullet \\ 39 & \bullet & \bullet\end{pmatrix}$.
Sans justifier, recopier ces matrices en remplaçant les $\bullet$ par des valeurs numériques de telle sorte que $\rm A \times B=C$.
Corrigé en vidéo
Exercices 4:

Matrices : les pièges à éviter avec le produit - Spé Maths


En choisissant judicieusement des matrices carrées d'ordre $2$, montrer que les propositions suivantes sont fausses :
1) Si $\rm A$ et $\rm B$ sont deux matrices carrées de même ordre, alors $\rm AB = BA$.
2) Si $\rm A$ et $\rm B$ sont deux matrices carrées de même ordre et si $\rm AB = O$ alors $\rm A = O$ ou $\rm B = O$.
    (avec $\rm O$ la matrice carrée nulle de même ordre)
3) Si $\rm A$, $\rm B$ et $\rm C$ sont trois matrices carrées de même ordre et si $\rm AB = AC$ alors $\rm B = C$.

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Qui sommes-nous? Nicolas Herla
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES et STI depuis 21 ans
Créateur de jeux de stratégie: Agora et Chifoumi

Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 12 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie